Основания призмы будут вписаны в круги (сечения шара), равноудаленные от центра шара.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне. Значит радиусы сечений равны по 5.
Высота призмы равна расстоянию между сечениями.
По теореме Пифагора находим расстояние от центра шара до сечения:
d = √(64 - 25) = √39
Значит, высота 2√39
Обозначим высоту призмы через h
Стороны ΔABC в основании обозначим:
AB = a, BC = b, AC = c
Тогда для площадей боковых граней можем записать:
По условию:
Т.е. получено соотношение для сторон треугольника и все стороны можем выразить через x:
Зная объем призмы и ее высоту, можем найти площадь основания:
Запишем формулу Герона для площади треугольника ABC:
Подставим найденное нами значение для площади основания:
Подставим x в выражения для сторон треугольника:
Ответ: Стороны основания равны 3,4 м, 3,4 м и 3,2 м
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (пусть пересекаются в точке О, диагонали в точке пересечения со стороной ромба образуют прямоугольный треугольник, тогда вторая диагональ - назовем ее АС= 2АО. Рассмотрим ΔАОВ - прямоугольный АО²=АВ² - ОВ²; АО²=(3√5)²- (0,5 ВД)²=45-36=9 =3²; АО=3, тогда АС=2·3=6
Докажем, что биссектриса совпадает с медианой и высотой. Биссектриса AD делит треугольник ABCна 2 треугольника с углами 30, 60 , 90, которые равны. Тогда BD=CD, и AD - медиана. Углы BDA и CDA равны 90 градусов, тогда AD - высота, что и требовалось доказать.
В перпендикулярном к плоскостям обеих иснований сечении, проходящем через центр вписанной сферы, найдем боковые стороны (это равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность, значит, суммы противоположных сторон равны): 3 + 27 = 30. 30/2 = 15.
Это есть высота трапеции - боковой грани нашей усеченной пирамиды. Ее площадь можем найти: (3 + 27)*15/2 = 225.
В боковой поверхности нашей пирамиды таких поверхностей четыре, т.е. площадь боковой поверхности будет равна 225*4 = 900.
Ответ: 900