Question

Упростите: cos5 *cos55 *cos65=

Answer 1

Cos 5° cos 55° cos 65° = cos α cos (60° − α) cos (60° + α) при α = 5°. Преобразуем:

cos α cos (60° − α) cos (60° + α) =
= cos α (cos 60° cos α + sin 60° sin α)(cos 60° cos α − sin 60° sin α) =
= ¼ cos α (cos α + √3 sin α)(cos α − √3 sin α) = ¼ cos α (cos² α − 3 sin² α) =
= ¼ cos α (cos 2α − 2 sin² α) = ¼(cos α cos 2α − 2 sin² α cos α) =
= ¼(cos α cos 2α − sin α sin 2α) = ¼ cos 3α.

Значит, cos 5° cos 55° cos 65° = ¼ cos 15°.

cos 15° = cos (45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
= ½√2 · ½√3 + ½√2 · ½ = ¼(√6 + √2).

Итого: cos 5° cos 55° cos 65° = ¼ · ¼(√6 + √2) = (√6 + √2)/16