Question

Докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Answer 1

Требуется доказать, что для всех натуральных n

$n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n$

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть $a_n=n!$ при переходе от $a_n$ к $a_{n+1}$ увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть $b_n=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2$ при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^n}\ \textgreater \ n+1.$

Упрощая, приводим это неравенство к 

$(n+2)^{n+1}\ \textgreater \ 2(n+1)^{n+1}$.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

$(k+1)^k\ \textgreater \ 2k^k,$

причем $k \geq 2.$

Используя бином Ньютона, получаем

$k^k+k\cdot k^{k-1}+\ldots= k^k+k^k+\ldots=2k^k+\ldots \ \textgreater \ 2k^k.$

Неравенство доказано.