Есть еще такой вариант для держателей нескольких карт одного банка (например, в Сбербанке). Если, например, одна карта утеряна, по другой, дав ее работнику банка (в окошке), можно определить номера и прочие данные обо всех других своих картах - по крайней мере выданных в том же городе. О картах, выданных в других городах, какие-то данные банковский компьютер может "не видеть". Что касается номера карты, то даже в сбербанковских банкоматах особого типа (не в каждом, а в таких, где возможен перевод между своими счетами) можно посмотреть 4 первых и 4 последних цифры номеров всех своих карт, а заодно и суммы на них. Подробнее - в банке.
Но если Вас интересует не номер карты (о котором я прочитал ответ Oroti и решил дополнить), а номер связанного с ней счета, - это только через банк. Там по карте сделают выписку, в которой будет номер счета. С собой надо иметь паспорт и как минимум одну свою карту, выданную в том городе, где Вы находитесь (если речь о Сбербанке), а также помнить ключевое слово к той карте, о которой делаете запрос. Ключевое слово выбирает при оформлении карты сам клиент. Возможно, в других банках будут другие дополнительные условия.