Question

Внутри треугольника ABC выбрана точка М. Как построить отрезок с концами на сторонах треугольника АВС так, чтобы точка М была его серединой?

Answer 1

Немного другая задача :). Внутри УГЛА c вершиной в точке A выбрана точка M, надо построить отрезок с концами на сторонах УГЛА, так, чтобы точка M была бы его серединой.
Отличие этой задачи в том, что 1) концы отрезка могут быть на ПРОДОЛЖЕНИИ сторон 2) у треугольника ТРИ угла.
Я отвечаю на поставленный вопрос. То есть описываю процесс построения. Все действия легко осуществляются с помощью циркуля и линейки.
1) проводится биссектриса угла.
2) из точки M проводится перпендикуляр к биссектрисе. Он пересекает стороны угла в точках K и N.
3) из точек K и N проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются НА БИССЕКТРИСЕ угла в точке O (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках K и N) 
4) соединяются точки O и M.
5) через точку M проводится прямая, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ отрезку OM, пересекающая стороны угла в точках P и Q.
PQ и есть нужный отрезок, точка M является его серединой.

Доказывается это так. 
∠PKO = ∠PMO = 90°; 
поэтому точки K и M лежат на окружности, построенной на PO, как на диаметре. 
В этой окружности ∠MPO и ∠MKO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны.
Аналогично, 
∠QMO = ∠QNO = 90°; 
поэтому точки N и M лежат на окружности, построенной на QO, как на диаметре. 
В этой окружности ∠MQO и ∠MNO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны.
Так как треугольник OKN равнобедренный, ∠MKO = ∠MNO;
Поэтому ∠MPO = ∠MQO, и треугольник PQO тоже равнобедренный. 
OM - высота к основанию этого треугольника PQO. То есть, его медиана. ЧТД.