Дана точка P(4;5) и прямая, проходящая через точки A(3;-2) и B(6;-1).
Её уравнение (х - 3)/3 = (у + 2)/1. (1)
Уравнение прямой, проходящей через точку Р(x0, y0) и имеющий нормальный вектор n=(A, B) представляется формулой:
A(x−x0)+B(y−y0)=0 (2)
Направляющий вектор прямой (1) имеет следующие координаты:
q=(m, n)=(3, 1). (3)
Для того, чтобы прямая (2) была перпендикулярна прямой (1), нормальный вектор n прямой (2) должен быть коллинеарным направляющему вектору (3) прямой (1). Поэтому в качестве нормального вектора прямой (2) можно взять вектор q. Подставим координаты вектора q и координаты точки Р в (2):
3(x − 4) + 1(y − 5) = 0.
После упрощения получим уравнение прямой, проходящей через точку Р и перпендикулярной прямой L:
3 x + y − 17 = 0. (4)
Для нахождения точки пересечения прямых (1) и (4) проще всего пользоваться параметрическим уравнением прямой (1).
Составим параметрическое уравнение прямой:
t=(x − 3)/3,
t= (y + 2)/1.
Выразим переменные x, y через параметр t :
x = 3·t + 3 , y = t − 2. (5)
Подставим значения x,y,z из выражения (5) в (4) и решим относительно t.
3(3t + 3) + 1(t − 2) − 17 = 0.
9t + t + 9 − 2 − 17 = 0.
t=1.
Подставляя значение t в выражения (5), получим координаты точки M:
x = 6 , y = −1 .
Ответ:
Проекцией точки Р(4, 5) на прямую (1) является точка:
M(6, −1 ).
