Автором музыки песни "Давай закурим" стал Модест Ефимович Табачников. Мне кажется в этом вопросе будет интересно проследить, кем же был Модест Табачников. Так уж получилось, что его фамилия очень ассоциируется с названием песни, ставшей очень популярной в годы войны, да и после.
Он родился в Одессе в еврейской семье в 1913 году. С юных лет стал увлекаться музыкой, пытаясь играть на всевозможных инструментах в музыкальных коллективах фабричного клуба. Затем он музыкой начал самостоятельно зарабатывать на жизнь: пианистом в клубе Одесской ВЧК-ОГПУ (1929-1932), затем концертмейстером Одесской филармонии (1936-1940). В 18 лет (в 1931) он поступает в Одесскую консерваторию. В 1936 году он становится автором известной песни "Ах, Одесса, жемчужина у моря". Причем слова написал также он, скрывшись под псевдонимом М. Любин. Песня пошла в народ, и у неё стали появляться новые варианты и куплеты. Цензура такие тексты на эстраду не пропускала, тогда М.Табачников попросил В.Гридова на эту мелодию написать другой текст. Так появилась песня "Дядя Ваня". Друзья называли Модеста Табачникова "рыжим Моней". В 1940-41 году он заведует музыкальной частью Одесской киностудии, одновременно (1934-41) продолжая оставаться музыкальным руководителем театра "Мотор". В начале войны он был призвал в Красную Армию. Он сразу понял, что на войне хорошие песни нужны, как воздух. С товарищем по Одесской киностудии Яковом Зискиндом они написали песню "Я на фронт ухожу добровольцем". Слова этой песни были напечатаны в газете "Чорноморська Комуна" и стали агитационной листовкой, поднимающей боевой дух.
Вскоре М.Табачникова переводят на работу в Политуправление, он становится музыкальным и художественным руководителем ансамбля песни и пляски 2-й Гвардейской армии Южного фронта, а по совместительству начальником клуба Политуправления. Товарищи из газеты «Во славу Родины» показали ему два ещё не опубликованных стихотворения. Одно из них было написано Ильёй Френкелем и называлось "Давай закурим". М.Табачников сразу приступил к написанию музыки, и на следующий день получилась песня. Она как раз вошла в программу концерта к 24-й годовщине Октября и была впервые исполнена 7 ноября 1941 года в ДК станицы Каменской.
Через некоторое время в 1942 году М.Табачников с театром "Весёлый десант" был на гастролях в Москве. Там его пригласил в гости известный артист МХАТа Михаил Яншин. Там состоялась встреча с Клавдией Шульженко, которая уже исполняла некоторые песни М.Табачникова в своих концертах. Композитор показал ей свои новые песни. И она тут же переписала слова и ноты песни "Давай закурим". А через некоторое время вышла пластинка, где Клавдия Шульженко исполнила 2 песни Модеста Табачникова - "Давай закурим" и "Мама".
Следует заметить, что в пластинку не вошел первый куплет стихотворения из-за ограничений по времени при записи одной стороны пластинки (не более 3-3,5 минут).
У автора текста Ильи Френкеля сначала родилась фраза "будем вспоминать". Из этой фразы родилась строчка:
А уже после получилось всё стихотворение, где эта строчка повторяется в конце каждого куплета.
Об истории этой песни можно почитать также тут. Разные варианты текста см. тут.