34/74*122/55-34/74*48/55=(34*122-34*48)/(74*55)=(34*74)/(74*55)=34/55
Раскладываем левую часть на простые множители.
![150^a=(2\cdot3\cdot5^2)^a=2^a\cdot3^a\cdot5^{2a}\\ \left(\dfrac{200}3\right)^b=(2^3\cdot3^{-1}\cdot5^2)^b=2^{3b}\cdot3^{-b}\cdot5^{2b}\\ 2250^c=(2\cdot3^2\cdot5^3)^c=2^c\cdot3^{2c}\cdot5^{3c}\\ 150^a\cdot\left(\dfrac{200}3\right)^b\cdot2250^c=2^{a+3b+c}\cdot3^{a-b+2c}\cdot5^{2a+2b+3c}](https://tex.z-dn.net/?f=150%5Ea%3D%282%5Ccdot3%5Ccdot5%5E2%29%5Ea%3D2%5Ea%5Ccdot3%5Ea%5Ccdot5%5E%7B2a%7D%5C%5C%0A%5Cleft%28%5Cdfrac%7B200%7D3%5Cright%29%5Eb%3D%282%5E3%5Ccdot3%5E%7B-1%7D%5Ccdot5%5E2%29%5Eb%3D2%5E%7B3b%7D%5Ccdot3%5E%7B-b%7D%5Ccdot5%5E%7B2b%7D%5C%5C%0A2250%5Ec%3D%282%5Ccdot3%5E2%5Ccdot5%5E3%29%5Ec%3D2%5Ec%5Ccdot3%5E%7B2c%7D%5Ccdot5%5E%7B3c%7D%5C%5C%0A150%5Ea%5Ccdot%5Cleft%28%5Cdfrac%7B200%7D3%5Cright%29%5Eb%5Ccdot2250%5Ec%3D2%5E%7Ba%2B3b%2Bc%7D%5Ccdot3%5E%7Ba-b%2B2c%7D%5Ccdot5%5E%7B2a%2B2b%2B3c%7D)
Поскольку
![506250=2\cdot3^4\cdot5^5](https://tex.z-dn.net/?f=506250%3D2%5Ccdot3%5E4%5Ccdot5%5E5)
, то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет выполняться система
![\begin{cases}a+3b+c=1\\a-b+2c=4\\2a+2b+3c=5\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Da%2B3b%2Bc%3D1%5C%5Ca-b%2B2c%3D4%5C%5C2a%2B2b%2B3c%3D5%5Cend%7Bcases%7D)
Заметим, что третье уравнения системы - сумма первых двух, так что его можно убрать из рассмотрения, останется система из двух уравнений с тремя неизвестными. Выразим b и c через a:
![\begin{cases}a+3b+c=1\\a-b+2c=4\end{cases}\begin{cases}a+3(a+2c-4)+c=1\\b=a+2c-4\end{cases}\\\begin{cases}7c=13-4a\\b=a+2c-4\end{cases}\\\begin{cases}c=\dfrac{13-4a}7\\b=-\dfrac{a+2}7\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Da%2B3b%2Bc%3D1%5C%5Ca-b%2B2c%3D4%5Cend%7Bcases%7D%5Cbegin%7Bcases%7Da%2B3%28a%2B2c-4%29%2Bc%3D1%5C%5Cb%3Da%2B2c-4%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5Cbegin%7Bcases%7D7c%3D13-4a%5C%5Cb%3Da%2B2c-4%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5Cbegin%7Bcases%7Dc%3D%5Cdfrac%7B13-4a%7D7%5C%5Cb%3D-%5Cdfrac%7Ba%2B2%7D7%5Cend%7Bcases%7D)
Поскольку b должно быть целым, a должно давать остаток 5 при делении на 7;
![a=7a'+5](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D7a%27%2B5)
. Подставляем:
![\begin{cases}a=7a'+5\\b=-a'-1\\c=-4a'-1\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7Da%3D7a%27%2B5%5C%5Cb%3D-a%27-1%5C%5Cc%3D-4a%27-1%5Cend%7Bcases%7D)
Эти равенства при любых целых a' задают все целочисленные решения уравнения. Найдём количество решений, удовлетворяющих неравенству.
![|a+b+c|=|7a'+5-a'-1-4a'-1|\ \textless \ 91\\ |2a'+3|\ \textless \ 91\\ -91\ \textless \ 2a'+3\ \textless \ 91\\ -94\ \textless \ 2a'\ \textless \ 88\\ -47\ \textless \ a'\ \textless \ 44](https://tex.z-dn.net/?f=%7Ca%2Bb%2Bc%7C%3D%7C7a%27%2B5-a%27-1-4a%27-1%7C%5C+%5Ctextless+%5C+91%5C%5C%0A%7C2a%27%2B3%7C%5C+%5Ctextless+%5C+91%5C%5C%0A-91%5C+%5Ctextless+%5C+2a%27%2B3%5C+%5Ctextless+%5C+91%5C%5C%0A-94%5C+%5Ctextless+%5C+2a%27%5C+%5Ctextless+%5C+88%5C%5C%0A-47%5C+%5Ctextless+%5C+a%27%5C+%5Ctextless+%5C+44)
Подходят -47 < a' < 44, таких a' найдётся 44 + 47 - 1 = 90
700-50*4+180=680
1)50*4=200
2)700-200=500
3)500+180=680
830-75:3*4-50=680
1)75:3=25
2)25*4=100
3)830-100=730
4)730-50=680
Надеюсь все правильно
Переводим в мм : 6000 мм -307 мм = 5 693 мм =5 м 693 мм (ответ -4)