Question

Как проверить ряд на сходимость?

помогите пожалуйста люди)как проверить на сходимость или расходимость ряд от n=1 до бесконечности : (sin(3n)/n^2)*arctg(n)

Answer 1

Вах! Вспомним молодость...

_Из замшелого склероза извлёк_ определение: ряд сходится, если у функции, описывающей ряд, существует предел, и расходится, если предела не существует.

Переформулируем вопрос:

Имеет ли предел функция

при условии, что n стремится к бесконечности.

Включаем думалку.

Sin(3x) - функция периодическая, изменяется в пределах от -1 до +1.

Arctg(n) при n от 0 до бесконечности асимптотически приближается к "пи пополам".

Итого в числителе (согласно правилам, арктангенс можно "поднять" в числитель дроби) мы будем иметь ноль плюс-минус пи пополам - с точки зрения бесконечности константу.

А вот знаменатель этой дроби будет расти с ростом n - до той же бесконечности.

В этом случае с ростом n значение функции будет стремиться к нолю.

Вывод: ряд сходится, предел равен нолю.