Вроде так: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc
Задача 1. S=1/2*СD*СЕ*sin(C)=(1/2)*6*8*√(3)/2=12*√(3).
Задача 2. На теорему косинусов: 8^2=6^2+7^2-2*6*7*cos(a).
cos(a)=(36+49-64)/84=0,25
Задача 3. Есть формула непосредственного вычисления, но я ее не помню, а где-то искать - лень. Но я могу дать решение, пусть и не самое оптимальное.
длины векторов а и в соответственно равны: а=√((-4)^2+5^2))=√(41),
b=√(5^2+(-4)^2))=√(41), расстояние между концами векторов равно √((-4-5)^2+(5+4)^2)=√(162). Вновь применяем теорему косинусов: (√(162))^2=(√(41))^2+(√(41))^2-2*√(41)*√(41)*cos(a), cos(a)=(41+41-162)/(2*41)=(-40/41).
Задача 4. Опять на теорему косинусов. PK^2=PM^2+MK^2-2*PM*MK*cos(120<span>°),
PK=√(3^2+4^2-2*3*4*(-1/2))=√(9+16+12)=√(37).
Площадь треугольника S=(1/2)*</span>PM*MK*sin(120°)=(1/2)*3*4*√(3)/2=3*√(3).
С другой стороны, S=PK*MN, откуда MN=S/PK=3*√(3)/√(37)=√(27/37).
S=5*13=65см
площадь прямоугольника
Объем пирамиды находим по формуле V=1/3Sосн*h. где h - апофема боковой грани, h=5.
Площадь основания находим по формуле Герона:
Sосн=Vp(p-a)(p-b)(p-c), где p= 1/2 (a+b+c). Выполняем вычисления:
p=1/2(13+14+15)=21. Sосн= V21(21-13)(21-14)(21 -15)=V21*8*7*6=2*3*4*7=168.
V=1/3*168*5=280
1) Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника) =180(n-2)=180(8-2)=180*6=1080, 1080-1000=80 - это восьмой угол.
2) Правильный шестиугольник ABCDEF.Меньшая диагональ BD=a. Внутренний угол =180(6-2)/6=720/6=120, <BCD=120.
Обозначим сторону шестиугольника х,BC=DC=x
По теореме косинусов BD²=DC²+BC²-2*DC*BC*cos120
a²=2x²-2x²(-1/2)=3x², x²=a²/3, x=a/(√3). Обозначим точку пересечения BD и FC через К, а точку пересечения AE и FC через М.
<DCК=120:2=60, <КDC=30 ⇒ KC=1/2*DC=a/(2√3)=FM, MK=x=a/(√3).
Большая диагональ FC=FM+MK+KC=a/(2√3)+a/(2√3)+a/(√3)=2a/(√3).