Question

На край крыши дома высотой H с расстояния L от дома школьник хочет забросить мяч. При какой минимальной величине v0 начальной скорости это возможно? Под каким углом a к горизонту следует в этом случае бросить мяч? Ускорение свободного падения g. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Answer 1

Как бы то ни было, в определенный момент времени, когда мячик коснется крыши, можно записать два следующих равенства

$v\displaystyle L = v\tau\cos\alpha \\ H = v\tau\sin\alpha-g\tau^2/2\\\\ \tau = L/(v\cos\alpha)\\ H = L\tan\alpha-\frac{gL^2}{2v^2}(1+\tan^2\alpha)\\\\ \frac{gL^2}{2v^2}\tan^2\alpha-L\tan\alpha+H+\frac{gL^2}{2v^2}=0\\\\ D = L^2-\frac{gL^2}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)\\\\ \tan\alpha = \frac{v^2}{gL}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{g}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)}\right)$

Нам надо найти наименьшее v при котором корни вообще могут существовать, то есть решаем предельную ситуацию

$\displaystyle 1-\frac{g}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)=0\\\\ \frac{v^2}{g} = 2H+\frac{gL^2}{v^2}\\\\ \frac{v^4}{g} - 2Hv^2-gL^2=0\\\\ v^2 = g(H+\sqrt{H^2+L^2})$

При этом

$\displaystyle \tan\alpha = \frac{v^2}{gL} = \frac{H+\sqrt{H^2+L^2}}{L}$