Следует изначально определить, что такое "про". "Про" может быть приставкой (проехали, происки, продленный) и предлогом (про мир, про тебя, про судьбу), но не корнем и не частицей, которые могут писаться через дефис при соединении с другим словом.
Дальше надо запомнить: перед глаголами никогда не бывает предлогов.
Следовательно, про- в глаголе "проспорили" - приставка, слово "проспорили" пишется слитно, дефисное и раздельное написание в данном слове отпадает.
У многих людей написание слова "грамматика" вызывает сомнение, так как часто оно ассоциируется со словом "грамота", которое пишется с одной буквой М. Слово же грамматика пишется с двумя буквами М. Если разобрать его по составу, то корень - это ГРАММАТ, суффикс ИК, окончание - А. Это слово нужно просто запомнить. Пишется оно с двумя буквами М.
Правописание сложных прилагательных зависит от способа их образования.
Если такое сложное прилагательное образовано от словосочетания существительного и прилагательного или глагола и существительного, то оно пишется слитно, к примеру: железная дорога - железнодорожный, белый снег - белоснежный, легкая атлетика - легкоатлетический, сельское хозяйство - сельскохозяйственный<wbr />, Древняя Русь - древнерусский, строить город - градостроительный, ремонтировать вагоны - вагоноремонтный. Таким же способом от словосочетания (кислое молоко) образовано слово "кисломолочный", поэтому оно пишется слитно.
Сложные прилагательные, которые пишутся через дефис, образованы от независимых друг от друга двух прилагательных, и между ними можно вставить союз "и": желтые и красные листья - желто-красные, английский и русский словарь - англо-русский, поисковая и спасательная служба - поисково-спасательна<wbr />я.
Правописание сложных прилагательных изучается в 6 классе.
Ещё от бабушки помню это слово и она не раз его произносила. Сначала я не понимала, что-же это значит, но знания приходят со временем взросления и теперь то я знаю, что докучать - это значит надоедать. Ну а раз не докучать - то это не надоедать. Как видим - слово "докучать" вполне обходится и без приставки, а это означает что его нужно писать отдельно от "не" и правильным ответом конечно же будет "не докучали".
Правильно пишется "претензия". Почему - объяснить не могу, скорее всего словарное слово