Нам требуется составить квадратное уравнение вида
![az^{2} +bz+c=0](https://tex.z-dn.net/?f=az%5E%7B2%7D%20%2Bbz%2Bc%3D0)
Где a, b и c - действительные числа
![z_0=2+i](https://tex.z-dn.net/?f=z_0%3D2%2Bi)
Допустим мы составляем приведенное уравнение (a=1).
Тогда по теореме Виета
![z_1+2+i=-b](https://tex.z-dn.net/?f=z_1%2B2%2Bi%3D-b)
![(2+i)z_1=c](https://tex.z-dn.net/?f=%282%2Bi%29z_1%3Dc)
Для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять
за сопряженное с
, т.е.
.
Логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы
содержал комплексную часть, равную
. Данное условие у нас уже соблюдается.
![b=-(2+i+2-i)=-4](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D-%282%2Bi%2B2-i%29%3D-4)
![c=(2+i)(2-i)=4-(-1)=5](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%282%2Bi%29%282-i%29%3D4-%28-1%29%3D5)
Теперь мы можем составить уравнение:
![z^{2}-4z+5=0](https://tex.z-dn.net/?f=z%5E%7B2%7D-4z%2B5%3D0)
Проверка:
![D=16-20=-4=(2i)^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D16-20%3D-4%3D%282i%29%5E%7B2%7D)
![z_0=\frac{4+2i}{2} =2+i](https://tex.z-dn.net/?f=z_0%3D%5Cfrac%7B4%2B2i%7D%7B2%7D%20%3D2%2Bi)
![z_1=2-i](https://tex.z-dn.net/?f=z_1%3D2-i)
Ответ: ![z^{2}-4z+5=0](https://tex.z-dn.net/?f=z%5E%7B2%7D-4z%2B5%3D0)