Question

Найти наименьший положительный период функции f (x)=0,2sin3xcos6xcosx

Answer 1

$f(x)=0.2\sin3x\cos6x\cosx=0.1(\sin(3x+6x)+\sin(3x-6x))\cos x=\\ \\ =0.1\cos x(\sin9x-\sin3x)=0.1(\sin9x\cos x-\sin3x\cos x)=\\ \\ =0.05(\sin(9x+x)+\sin(9x-x)-\sin(3x+x)-\sin(3x-x))=\\ \\ =0.05(\sin10x+\sin8x-\sin4x-\sin2x)$

Согласно формуле $T= \dfrac{T_1}{|k|}$. Функция f(x)=sin10x имеет период $\frac{2 \pi }{10} = \frac{\pi}{5}$, функция f(x)=sin8x имеет период $\frac{2 \pi }{8} = \frac{\pi}{4}$, функция f(x)=sin4x имеет период $\frac{2 \pi }{4} = \frac{\pi}{2}$, а функция f(x)=sin2x имеет период $\frac{ 2\pi }{2} = \pi$. Тогда основным периодом данной функции является наименьшее общее кратное периодов слагаемы $\frac{\pi}{5} ,\frac{\pi}{4} ,\frac{\pi}{2} , \pi$ и это наименьшее общее кратное 20.

Итак, период данной функции равен $\frac{20 \pi }{20} = \pi$


Ответ: $\pi$