Question

Дан прямоугольник АВСД. Точка М-середина стороны АВ, точка К-середина стороны ВС. отрезки АК и СМ пересекаются в точке Е. во сколько раз площадь четырехугольника
МВКЕ меньше площади четырехугольника АЕСД?

Answer 1

Используем координатный метод. Пусть вершины (не пренебрегая общностью) заданного прямоугольника имеют координаты: А(0;0), B(0,b), C(a,b), D(a, 0). Тогда площадь всего прямоугольника будет равна:
S=AB*BC=ab.
Найдем координаты точки E:
$M\left(0;\frac{b}{2}\right),\,K\left(\frac{a}{2};b\right);\\ AK:\,\frac{2x}{a}=\frac{y}{b}\to y=\frac{2b}{a}x.\\ CM:\,\frac{x}{a}=\frac{2y-b}{b}\to y=\frac{b}{2a}x+\frac{b}{2}.\\ E:\,\begin{cases}y=\frac{2b}{a}x,\\ \frac{2b}{a}x=\frac{b}{2a}x+\frac{b}{2};\end{cases}\,\begin{cases}y=\frac{2b}{a}x,\\ \frac{3b}{2a}x=\frac{b}{2};\end{cases}\,\begin{cases}y=\frac{2b}{3},\\ x=\frac{a}{3}.\end{cases}$
Тогда имеем следующее: (смотрите рисунок)
$EN=PD=\frac{2}{3}AD=\frac{2a}{3},\,EP=ND=\frac{2}{3}CD=\frac{2b}{3};\\ S_{AECD}=S_{AED}+S_{DEC}=\frac{1}{2}(EP\cdot AD+ EN\cdot CD)=\\ =\frac{1}{2}(\frac{2b}{3}\cdot a+ \frac{2a}{3}\cdot b)=\frac{2}{3}ab=\frac{2}{3}S_{ABCD}$