Question

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x=a(1-sin(t)), y=a(1-cos(t)), (t от 0 до 2пи)

Answer 1

Вычислим производные
x'=a(1-cost)
y'=a sint
Формула длины линии
$L= \int\limits^{2 \pi} _0 { \sqrt{(x')^2+(y')^2} } \, dt= \int\limits^{2 \pi} _0 { \sqrt{(x')^2+(y')^2} } \, dt= \\ = \int\limits^{2 \pi} _0 { \sqrt{(a(1-cost))^2+(a \,sint)^2} } \, dt= \\ =\int\limits^{2 \pi} _0 {a \sqrt{1-2\,cost+cos^2t+sin^2t} } \, dt= \\ =\int\limits^{2 \pi} _0 {a \sqrt{2(1-\,cost)} } \, dt =\int\limits^{2 \pi} _0 {a \sqrt{2(2sin^2 \frac{t}{2} )} } \, dt= \\ =2a\int\limits^{2 \pi} _0 {sin \frac{t}{2}} } \, dt=-4acos\frac{t}{2}}|_0^{2 \pi }=-4acos \pi +4acos0=8a$

Ответ: 8а