При n = 1 равенство примет вид 4 = 4, следовательно, P<span>(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
</span><span>
1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1)= n(n+1)^2</span>
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
<span>1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) =
(n + 1)(n + 2)^2</span>
<span>истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
</span>1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4)
<span>получим
</span>
n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4) = (n + 1) (n (n + 1) + 3n + 4) =
= (n + 1)(n^2 + n + 3n + 4) = (n + 1) (n^2 + 4n + 4) =
=
(n+ 1)(n + 2)^2 то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.