Question

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Answer 1

Если ни одно из чисел не делится на 3, и они последовательные, то мы можем их обозначить, как 3x+1 и 3x+2
(3x+1)³+(3x+2)³=(3x+1+3x+2)((3x+1)²-(3x+1)(3x+2)+(3x+2)²)=3(2x+1)(9x²+6x+1-9x²-3x-6x-2+9x²+12x+4)=3(2x+1)(9x²+9x+3)=9(2x+1)(3x²+3x+1)
Среди множителей есть 9 => число делится на 9 нацело

Answer 2

Первое число 3k + 1, второе 3k + 2 (два последовательных числа, не делящихся на 3 имеют остатки 1 и 2 при делении на 3 соответственно)

(3k+1)³ + (3k+2)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1 + 27k³ + 54k² + 36k + 8 = 
= 54k³ + 81k² + 45k + 9 = 9(6k³ + 9k² + 5k + 1) 

очевидно делится на 9, для любого k ≥ 0