Question

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і дорівнює 4 см. Знайдіть площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї, дорівнює 2,5 см.

Answer 1

Поскольку диагонали перпендикулярны к боковой стороне, то ∠ABD и ∠ACD опираются на диаметр AD, следовательно, центр окружности лежит на середине AD

AO = OD = 2.5 см, тогда AD = 2 * 2.5 = 5 см

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACD

$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ см

Каждый катет есть среднее пропорциональное между проекцией катета и гипотенузы, т.е.

$CD=\sqrt{AD\cdot ED}~~~\Rightarrow~~~ ED=\dfrac{CD^2}{AD}=\dfrac{3^2}{5}=1.8~_{\sf CM}$

Тогда BC = AD - 2 * ED = 5 - 2 * 1.8 = 1.4 см

AE = AD - ED = 5 - 1.8 = 3.2 см

Высота, опущенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

$CE=\sqrt{AE\cdot ED}=\sqrt{3.2\cdot1.8}=2.4~_{\sf CM}$

Площадь равнобокой трапеции:

$S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot CE=\dfrac{5+1.4}{2}\cdot 2.4=7.68~_{\sf CM^2}$