Question

Помогите пожалуйста исследовать функцию Y=ln(x)-ln(x-1)
по плану:

Answer 1

Y = lnx - ln(x-1)

1. ОДЗ:
 $\left \{ {{x\ \textgreater \ 2} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ x\ \textgreater \ 1$

2. Пересечение с осями.
Из области определения ясно, что пересечения с осью ординат нет.
Пересечение с осью абсцисс: y = 0

lnx-ln(x-1) = 0
lnx = ln(x-1) - невозможно, т.к. функция ln - монотонно возрастающая

Итак, пересечений с осями нет

3. Чётность - не может быть ни чётной, ни нечётной, т.к. не имеет симметричную область определения относительно центра координат.

4. Периодичности нет по той же причине.

5. Непрерывность - да, на области определения, т.к. функция ln непрерывна, а сумма непрерывных функций - непрерывна.

6. Асимптоты

а) Вертикальная асимптота может быть только в точке x=1, т.к. на остальной области определения функция не имеет разрывов.
$\lim_{x \to 1+} (lnx - ln(x-1)) = \lim_{x \to 1+} ln{ \frac{x}{x-1} } = ln \frac{1}{1-1} = ln(+\infty)=+\infty$
Существует вертикальная асимптота в точке x=1

б) Горизонтальная и наклонная асимптоты.
Могут быть только на положительной бесконечности.

$\lim_{x \to +\infty} (lnx-ln(x-1)) = \lim_{x \to +\infty} ln \frac{x}{x-1} =ln( \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x-1} )=\\ln1=0$

Существует горизонтальная асимптота y=0.
Т.к. одновременное существование горизонтальной и наклонной асимптот невозможно, то наклонной асимптоты у данной функции нет.

7-8. Монотонность и экстремумы.
Определяем первую производную.
$y'=(lnx-ln(x-1))'=(lnx)'-(ln(x-1))'= \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} =\\\\ \frac{x-1-x}{x(x-1)} = -\frac{1}{x(x-1)}$

Т.к. x>1, то выражение x(x-1) положительно для всех x. Значит, значение первой производной отрицательно на всей области определения.
Т.о., функция монотонно убывает и не имеет точек экстремумов.

9. Выпуклость
Определяем вторую производную.
$y'' = (- \frac{1}{x(x-1)} )'=- \frac{0*x(x-1)-(2x-1)}{(x(x-1))^2}= \frac{2x-1}{x^2(x-1)^2)}$

Корни этого выражения 0, 1/2 и 1 - не входят в область определения.
При x > 1 все выражения также положительны, а значит, и вся дробь тоже положительна. Это означает, что на всей области определения функция имеет выпуклость вниз.

10. Точек перегиба нет.