Question

Как решить это уравнение? |1-x^2|=5-|x|

Answer 1

Для начала приведем уравнение к такому виду:
|1-х²|+|х|=5
Выражение 1-x² обращается в 0 в точках х=1 и х=-1, а выражение х - в точке х=0
Эти три точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:
x<-1, -1<x<0, 0<x<1, x>1
Каждые эти промежутки надо рассматривать по отдельности:

Рассмотрим промежуток x<-1
В этом промежутке 1-х²<0 и x<0
Значит, |1-x²|=-(1-x²), а |x|=-x
Таким образом, на этом промежутке уравнение принимает вид:
-1+х²-х=5
Решив это уравнение, находим корни x=3 и х=-2. Значение х=3 не удовлетворяет условию x<-1, поэтому не является корнем уравнения.

Рассмотрим промежуток -1<x<0
В этом промежутке 1-х²>0, а x<0
Таким образом, на этом промежутке уравнение принимает вид:
1-х²-x=5
Это уравнение корней не имеет.

Рассмотрим промежуток 0<х<1
В этом промежутке 1-х²>0, а x>0
Таким образом, на этом промежутке уравнение принимает вид:
1-х²+х=5
Это уравнение корней не имеет.

Рассмотрим промежуток x>1
В этом промежутке 1-х²<0, а х>0
Таким образом, на этом промежутке уравнение принимает вид:
-1+х²+х=5
Решив это уравнение, находим корни х=2 и х=-3. Значение х=-3 не удовлетворяет условию х>1, поэтому не является корнем уравнения. 

Следовательно, ответами являются х=2 и х=-2