Question

Чему равен ln5? Как вообще это определить? Заранее спасибо)

Answer 1

$\ln 5$ можно, конечно, посчитать на калькуляторе, но есть и приближенная формула (если любопытно, то она основана на разложении натурального логарифма в ряд Тейлора)

Для любого $x$ такого что $|x| \leq 1$ выполняется $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$.
Приведем $\ln 5$ к такому виду, чтобы можно было воспользоваться формулой: $\ln 5 = \ln (2\cdot2.5) = \ln 2+\ln2(1+0.25) = 2\ln 2 + \ln(1+0.25)$.
Посчитаем отдельно $\ln 2$ и $\ln 1.25$.
$\ln 2 = \ln (1+1) = 1-\frac{1^2}{2}+\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}+\frac{1^5}{5}-\frac{1^6}{6}+\frac{1^7}{7}-\frac{1^8}{8}+\frac{1^9}{9}-\frac{1^{10}}{10}+\frac{1^{11}}{11}-\cdots\approx\frac{20417}{27720}$
$\ln 1.25 = \ln (1+0.25) =0.25 -\frac{0.25^2}{2}+\frac{0.25^3}{3}-\frac{0.25^4}{4}+\frac{0.25^5}{5}-\frac{0.25^6}{6}+\frac{0.25^7}{7}-\frac{0.25^8}{8}+\frac{0.25^9}{9}-\frac{0.25^{10}}{10}+\frac{0.25^{11}}{11}-\cdots\approx\frac{3243004057}{14533263360}$
В итоге получим $\ln 5 = 2\ln 2 + \ln 1.25 \approx 2\frac{20417}{27720}+\frac{3243004057}{14533263360} = \frac{8217260083}{4844421120} \approx 1.69623$ что почти точно совпадает со значением, вычисленным на калькуляторе. Если взять больше членов разложения, то можно будет еще более приблизиться к числу, что подсказала бездушная машина.