Question

Первый мастер шьет шубу за 5 дней, а второй - за 3 дня. Как распределить между ними заказ на пошив 9 шуб , чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в кратчайший срок.

Answer 1

Пусть n - количество шуб, которое должен получить первый мастер, а m - количество шуб, которое должен получить второй мастер.

 

По условию, нужно найти такие n и m, чтобы:

 

(1) n + m = 9 и (2) max(5n, 3m) = min1, где min1 - минимально возможное значение по всем n и m, удовлетворяющим (1).

 

Мне представляется (это необходимо строго доказать!), что (2) достигается при n, m: |5n - 3m| = min2 (3), где min2 - минимально возможное значение по всем n и m, удовлетворяющим (1).

 

(3) означает, что минимальное количество дней достигается когда оба мастера заканчивают работу "почти" одновременно, что согласуется с интуицией.

 

Из (1) и (3) следует |5n - 3m| = |5n - 3*(9 - n)| = |8n - 27)| = min2 (4), где min2 - минимально возможное значение по всем n и m, удовлетворяющим (1).

 

Перебирая все возможные n от 0 до 9, находим, что минимум выражения (4) достигается при n = 3. При n = 3 значение выражения |8n - 27| равно 3, и наиболее близко к 0.

 

Если n = 3, то m = 9 - n = 6. Заказ в этом случае будет выполнен за max(5n, 3m) = max(15, 18) = 18 дней.

 

Ответ: Первому мастеру нужно заказать 3 шубы, а второму - 6 шуб.