Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y"+9y=9/sin3x

Answer 1

Дифференциальное уравнение 2-го порядка
$y''+9y=\frac{9}{sin3x}\\\lambda^2+9=0\\\lambda^2=-9\\\lambda_{1,2}=^+_-3i\\Y=C_1(x)cos3x+C_2(x)sin3x\\\begin{cases}C_1'(x)cos3x+C_2'sin3x=0\\C_1'(x)(-3sin3x)+C_2'(3cos3x)=\frac{9}{sin3x}\end{cases}$
$W= \left|\begin{array}{ccc}cos3x&sin3x\\-3sin3x&3cos3x\end{array}\right|=3cos^23x+3sin^23x=3\\W_1= \left|\begin{array}{ccc}0&sin3x\\\frac{9}{sin3x}&3cos3x\end{array}\right|=-9\\W_2= \left|\begin{array}{ccc}cos3x&0\\-3sin3x&\frac{9}{sin3x}\end{array}\right|=9ctg(3x)\\C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-3\\C_1(x)=\int-3dx=-3x+C_1\\C_2'(x)=\frac{W_2}{W}=3ctg3x\\C_2(x)=\int3ctg(3x)dx=ln|sin3x|+C_2\\y=(-3x+C_1)cos3x+(ln|sin3x|+C_2)sin3x$