Мы рассматриваем числа в десятичной системе. Это означает, что "цена" разряда - последовательные степени десятки. Например, число из примера можно расписать так:
![\overline{abcd}=a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10^1+d\cdot10^0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7Babcd%7D%3Da%5Ccdot10%5E3%2Bb%5Ccdot10%5E2%2Bc%5Ccdot10%5E1%2Bd%5Ccdot10%5E0)
Можно заметить, что все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, делятся на 10 (в данном случае второе с конца равно 10c, третье 100b, четвертое 1000a. Но и в общем случае ситуация, очевидно, не меняется).
Остаток от деления натурального числа x на натуральное число y - такое целое число r,
, что найдётся целое число q, удовлетворяющее равенству
. Иначе говоря, (x - r) должно делиться на y.
d - это натуральное число,
,
делится на 10, значит, d - остаток от деления исходного числа на 10.
А из того, что
![\overline{\cdots abcd}=\cdots+a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10^1+d=\\=10(\cdots+a\cdot10^2+b\cdot10^1+c\cdot10^0)+d=10\times\overline{\cdots abc}+d](https://tex.z-dn.net/?f=%5Coverline%7B%5Ccdots%20abcd%7D%3D%5Ccdots%2Ba%5Ccdot10%5E3%2Bb%5Ccdot10%5E2%2Bc%5Ccdot10%5E1%2Bd%3D%5C%5C%3D10%28%5Ccdots%2Ba%5Ccdot10%5E2%2Bb%5Ccdot10%5E1%2Bc%5Ccdot10%5E0%29%2Bd%3D10%5Ctimes%5Coverline%7B%5Ccdots%20abc%7D%2Bd)
следует, что после деления на 10 целая часть от деления (q в приведенных выше обозначениях) - это исходное число, но с отброшенной последней цифрой. Для этого числа всё написанное тоже выполняется, поэтому следующий остаток - c, а следующее неполное частное - исходное число без двух последних цифр. Ну и так далее, пока не получится число из одной цифры, она и будет последним остатком, дальше пойдут нули.
Если хочется немного более формального оформления, можете погyглить, что такое принцип математической индукции. По сути, описанное - как раз он, и из него следует, что доказанное утверждение справедливо не только для чисел с не более чем четырьмя цифрами, а вообще для всех натуральных чисел.