Question

Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел х и y, удовлетворяющих неравенству5Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел х и y, удовлетворяющих неравенству
5Ix-2I+3Ix+aI≤$\sqrt{4- y^{2} }$+7

Answer 1

Если неравенство справедливо при некотором y ≠ 0, то оно будет удовлетворяться при y = 0, так как $\sqrt{4-y^2}+7\leqslant\sqrt{4-0}+7$. Ну а если неравенство нарушается при всех y, то оно неверно и при y = 0 тоже.
Поэтому можно проверять условие при y = 0. Задача тогда переписывается в виде:
"Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству
$5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9$"
Заметим, что можно переформулировать неравенство как
$\min\limits_{x\in\mathbf R}5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9$

Представим себе график функции y(x) = 5|x - 2| + 3|x + a|. Модули обнуляются при x = 2 и x = -a. При отдалении влево от min(2, -a) и вправо от max(2, -a) функция возрастает, а при min(2, -a) <= x <= max(2, -a) функция линейная.
Минимум на промежутке (-infty, min(2, -a)] достигается в точке x = min(2, -a).
Минимум на промежутке [max(2, -a), infty) достигается в точке x = max(2, -a)
Минимум на отрезке [min(2, -a), max(2, -a)] достигается в одном из концов (на этом отрезке функция линейна)

Таким образом,
$\min\limits_{x\in\mathbf R}y(x)=\min(y(-a),y(2))$

Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство min y(x) <= 9. С учетом последнего наблюдения это неравенство равносильно совокупности
$\left[\begin{array}{l} y(2)\leqslant9\\ y(-a)\leqslant9 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} 3|a+2|\leqslant9\\ 5|a+2|\leqslant9 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad |a+2|\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \boxed{-5\leqslant a\leqslant 1}$

Ответ. -5 <= a <= 1.