Ясно, что если хотя бы одна цифра числа n равна нулю, то p(n)=0. В первый раз p(n) не равно нулю, когда n=1111, в последний раз - когда n=1999. Отбрасывая числа с нулями, сводим задачу к следующей:
Найти
![\sum\limits_{i,j,k=1}^9i j k.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum%5Climits_%7Bi%2Cj%2Ck%3D1%7D%5E9i+j+k.)
Имеется в виду, что i - число тысяч, j - число десятков, k - число единиц числа (число десятков тысяч всегда равно 1 и поэтому не учитывается). Преобразуем:
![\sum\limits_{i,j,k=1}^9ijk=\sum\limits_{i=1}^9\left(i\cdot\sum\limits_{j,k=1}^9 jk\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^9i\right)\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^9j\right) \cdot\left(\sum\limits_{k=1}^9k\right)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csum%5Climits_%7Bi%2Cj%2Ck%3D1%7D%5E9ijk%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E9%5Cleft%28i%5Ccdot%5Csum%5Climits_%7Bj%2Ck%3D1%7D%5E9+jk%5Cright%29%3D%5Cleft%28%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E9i%5Cright%29%5Ccdot+%5Cleft%28%5Csum%5Climits_%7Bj%3D1%7D%5E9j%5Cright%29+%5Ccdot%5Cleft%28%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E9k%5Cright%29%3D)
![45\cdot 45\cdot 45=91125](https://tex.z-dn.net/?f=45%5Ccdot+45%5Ccdot+45%3D91125)
.
Кто не разобрался со знаками суммирования, разберу пример с
![\scriptstyle\sum\limits_{i,j,k=1}^2ijk=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot 1+1\cdot 2 \cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+ 2\cdot 2\cdot 2=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cscriptstyle%5Csum%5Climits_%7Bi%2Cj%2Ck%3D1%7D%5E2ijk%3D1%5Ccdot+1%5Ccdot+1%2B1%5Ccdot+1%5Ccdot+2%2B1%5Ccdot+2%5Ccdot+1%2B1%5Ccdot+2+%5Ccdot+2%2B2%5Ccdot+1%5Ccdot+1%2B2%5Ccdot+1%5Ccdot+2%2B2%5Ccdot+2%5Ccdot+1%2B+2%5Ccdot+2%5Ccdot+2%3D)
![\scriptstyle =1(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)+2(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=(1+2)(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cscriptstyle+%3D1%281%5Ccdot+1%2B1%5Ccdot+2%2B2%5Ccdot+1%2B2%5Ccdot+2%29%2B2%281%5Ccdot+1%2B1%5Ccdot+2%2B2%5Ccdot+1%2B2%5Ccdot+2%29%3D%281%2B2%29%281%5Ccdot+1%2B1%5Ccdot+2%2B2%5Ccdot+1%2B2%5Ccdot+2%29%3D)
![\scriptstyle =(1+2)\left[1(1+2)+2(1+2)\right]=(1+2)(1+2)(1+2)=27](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cscriptstyle+%3D%281%2B2%29%5Cleft%5B1%281%2B2%29%2B2%281%2B2%29%5Cright%5D%3D%281%2B2%29%281%2B2%29%281%2B2%29%3D27)
Ответ: 91125