Question

Даю все 35 балла !

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?
с подробным решением.

Answer 1

Ответ: наибольший объём имеет конус, а наименьший - куб

Пошаговое объяснение:

Сначала выразим все объёмы через площадь поверхности.

Для определённости пусть площадь полной поверхности равна S. Через неё и выразим остальные величины.

1. Куб

Sполн.пов. = 6a², где a - ребро куба

$S = 6a^2\\\\a^2=\frac{S}{6} \\\\a=\sqrt{\frac{S}{6}}$

Vкуба = a³

$V=(\sqrt{\frac{S}{6}})^3=\sqrt{\frac{S^3}{216} }$

2. Шар

Sпов. = 4πR, где R - радиус шара

$S=4\pi R^2\\\\ R^2=\frac{S}{4\pi} \\\\ R=\sqrt{\frac{S}{4\pi} }$

Vшара = 4/3 * πR³

$V=\frac{4}{3}\pi *R^3=\frac{4}{3}\pi*(\sqrt{\frac{S}{4\pi} })^3=\frac{4\pi *S}{3*4\pi } \sqrt{\frac{S}{4\pi} }=\frac{S}{3} \sqrt{\frac{S}{4\pi} }=\sqrt{\frac{S^3}{36\pi} }$

3. Цилиндр

2r = h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра

Sполн.пов. = 2πr(h + r)

Заменим h на 2r, опираясь на равенство выше.

2πr(h + r) = 2πr(2r + r) = 6πr²

$S=6\pi r^2\\\\r^2=\frac{S}{6\pi } \\\\r=\sqrt{\frac{S}{6\pi } }$

Vцил = πr²h = πr² * 2r = 2πr³

$V=2\pi r^3=2\pi (\sqrt{\frac{S}{6\pi } })^3=2\pi*\frac{S}{6\pi } } \sqrt{\frac{S}{6\pi } }=\frac{S}{3} } \sqrt{\frac{S}{6\pi } }=\sqrt{\frac{S^3}{54\pi } }$

4. Конус

2r = h, где r - радиус основания, h - высота конуса

Sполн.пов. = πr(r + l), где l - образующая конуса.

Найдём образующую, используя половину осегого сечения - прямоугольный треугольник, в котором катеты - это высота и радиус, а гипотенуза - образующая. Тогда:

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(2r)^2+r^2}=\sqrt{4r^2+r^2}=\sqrt{5r^2}=r\sqrt{5}$

Sполн.пов. = πr(r + l) = πr(r + r√5) = πr²(1 + √5)

$S=\pi r^2(1+\sqrt{5})\\ \\r^2=\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}\\ \\r=\sqrt{\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}}$

Vкон = 1/3 * πr²*h = 1/3 * 2πr³

$V=\frac{1}{3}*2\pi r^3=\frac{2\pi }{3}(\sqrt{\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}})^3=\frac{2\pi }{3}*\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}\sqrt{\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}}=\frac{2S}{3(1+\sqrt{5})}\sqrt{\frac{S}{\pi (1+\sqrt{5})}}=\\\\=\sqrt{\frac{(2S)^2*S}{9*(1+\sqrt{5} )^2*\pi (1+\sqrt{5})}}=\sqrt{\frac{4S^3}{9\pi *(1+2\sqrt{5}+5)*(1+\sqrt{5})}}=\sqrt{\frac{2S^3}{9\pi (3+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}}=$

$=\sqrt{\frac{2S^3}{9\pi (3+\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5)}}=\sqrt{\frac{2S^3}{9\pi (8+4\sqrt{5})}}=\sqrt{\frac{S^3}{18\pi (2+\sqrt{5})}}$

Теперь сравним получившиеся объёмы.

Заметим, что все они выражены как корень некоторой дроби, а также у них одинаковый числитель S³. То есть сравнивать необходимо знаменатели, притом чем меньше знаменатель, тем больше объём.

Знаменатели:

$(1)216\\(2)36\pi \\(3)54\pi \\(4)18(2+\sqrt{5})$

(2) < (3)

Сделаем грубое округление π=3 и посчитаем знаменатели (2) и (3). Получим

(2) 108; (3) 162, тогда

(2) < (3) < (1)

Зная, что √5>√4=2, округлим √5 до 3, посчитаем значение знаменателя (4) и получим

(4) 90

В итоге имеем следующее соотношение:

(4) < (2) < (3) < (1), откуда

Vкон > Vшара > Vцил > Vкуба