Question

Приведите пример двузначного числа которое при делении на цифру его единиц дает в частном 9 и в остатке 4

Answer 1

Двузначное число можно представить в виде:
$10a+b,\,a\in[1;9]\cap\mathbb{Z},\,b\in[0;9]\cap\mathbb{Z}$
Из условия:
$b\neq0$
Поделим это число на b:
${10a+b\over b}={10a\over b}+1$
Целая часть данного частного по условию равна 9, а остаток от деления равен 4. Посему:
${10a-4\over b}+1=9\\10a=8b+4\\5a=4b+2$
Отсюда $5a$ делится на 2, а значит и $a$ делится на 2. Кроме того, $4b+2$ делится на 5, поэтому $4b$ дает остаток 3 при делении на 5, откуда $b$ дает остаток 2 при делении на 5.
Из цифр при делении на 5 дает остаток 2 только 2 и 7. 2 не подходит из условия "При делении на $b$ дает остаток 4", то есть $b\ \textgreater \ 4$.
Значит подходит лишь 7. Подставим в равенство выше и найдем $a$:
$5a=4*7+2\\a={30\over5}=6$
Вышло число 67. Проверим, что оно подходит:
${67\over7}={63\over7}+{4\over7}=9+{4\over7}$
Подходит. Значит удовлетворяет условиям лишь одно число - 67