Question

Решить систему уравнений xy+x-y=7 x^2y-xy^2=6

Answer 1

$\left \{ {{xy+x-y=7} \atop {x^2y-xy^2=6}} \right.\; \left \{ {{xy+x-y=7} \atop {xy\cdot (x-y)=6}} \right.\; \; t=xy\; ,\; (x-y)=p\; \; \left \{ {{t+p=7} \atop {tp=6}} \right.\; \left \{ {{t=7-p} \atop {(7-p)\cdot p=6}} \right. \\\\\left \{ {{t=7-p} \atop {p^2-7p+6=0}} \right. \; \left \{ {{t=7-p} \atop {p_1=1\; ,\; t_2=6}} \right. \; \left \{ {{t_1=6\; ,\; t_2=1} \atop {p_1=1\; ,\; p_2=6}} \right.\; \; \to \; \; (6,1)\; ,\; (1,6)\\\\a)\; \; t_1=6\; ,\; p_1=1\\\\\left \{ {{xy=6} \atop {x-y=1}} \right.\; \left \{ {{(y+1)\cdot y=6} \atop {x=y+1}} \right.\; \left \{ {{y^2+y-6=0} \atop {x=y+1}} \right.\; \left \{ {{y_1=-3\; ,\; y_2=2} \atop {x_1=-2\; ,\; x_2=3}} \right. \; \; \to \; \; (-2,-3)\; ,\; (3,2)\\\\b)\; \; t_2=1\; ,\; p_2=6\\\\\left \{ {{xy=1} \atop {x-y=6}} \right. \; \left \{ {{(y+6)\cdot y=1} \atop {x=y+6}} \right. \; \left \{ {{y^2+6y-1=0} \atop {x=y+6}} \right. \; \left \{ {{y_1=-3-\sqrt{10}\; ,\; y_2=-3+\sqrt{10}} \atop {x_1=3-\sqrt{10}\; ,\; x_2=3+\sqrt{10}}} \right. \; \to \\\\(3-\sqrt{10},-3-\sqrt{10})\; ,\; \; (3+\sqrt{10},-3+\sqrt{10})$

$Otvet:\; (-2,-3)\; ,\; (3,2)\; ,\; (3-\sqrt{10},-3-\sqrt{10})\; ,\; \; (3+\sqrt{10},-3+\sqrt{10})\; .$

Answer 2

xy + x - y = 7             xy + x - y = 7    Замена: xy = а; x - y = b

x²y - xy² = 6            xy(x - y) = 6

a + b = 7    

ab = 6     Систему решаем, применив т. Виета.

a₁ = 1          или           a₂ = 6

b₁ = 6                           b₂ = 1

Обратная замена:

1) xy = 1                или     2) xy = 6

  x - y = 6                            x - y = 1

Решаем каждую систему совокупности:

1) xy = 1            (6 + y)y = 1; 6y + y² = 1; y² + 6y - 1 = 0;

  x = 6 + y        y₁ = -3 + √10; y₂ = -3 - √10

                         x₁ = 3 + √10; x₂ = 3 - √10

(3 + √10; -3 + √10), (3 - √10; -3 - √10).

2) xy = 6           (y + 1)y = 6; y² + y - 6 = 0;

   x = y + 1         y₁ = -3; y₂ = 2

                          x₁ = -2; x₂ = 3

(-3; -2), (3; 2)

Ответ: (3 + √10; -3 + √10), (3 - √10; -3 - √10), (-3; -2), (3; 2).