Маршрутизатор - это роутер в простонародье.
Коробочка, которая висит где-то в помещении на стене (но может и на шкафу лежать или даже на столе стоять) и раздаёт (по проводам и по воздуху) Интернет, который получает от провайдера (по кабелю, оптоволокну или тоже по воздуху - от оператора сотовой связи, например).
Прошивка маршрутизатора - его "операционная система".
Если вы получили сообщение о необходимости её обновить - нужно это сделать.
Обычно попасть в веб-интерфейс роутера можно через браузер, введя в адресную строку его адрес (192.168.1.1 или 192.168.0.1) и введя логин и пароль (если их никто не менял - admin и admin).
В веб-интерфейсе найдите пункт "Обслуживание" и там - "Обновление ПО".
Это всё в общем, а конкретно как обновить прошивку - смотрите руководство по конкретной модели вашего роутера.
Высказывание предыдущего оратора
давайте просто спишем на то, что этот товарищ айфон только издали видел.
В мире более миллиарда человек пользуются iPhone и если какой-то роутер "не рассчитан" был бы на них - фирма, его выпустившая, сразу бы по миру пошла.
Это только в бедных странах айфон - что-то для богачей. В остальном мире - это просто мобильник.
А ещё - попробуйте сменить стандарт шифрования в роутере. Иногда помогает.