Question

Найти точку, симметричную точке A относительно прямой l

Answer 1

Ответ: $A'=\bigg(-\dfrac{388}{13};\dfrac{8}{13};\dfrac{71}{13}\bigg)$

Пошаговое объяснение:

Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

(A;B;C) - направляющий вектор. $(x_0;y_0;z_0)$ - координаты точки А

Подставим

$1(x-3)+4(y-2)+3(z-0)=0\\x-3+4y-8+3z=0\\ x+4y+3z-11=0~~~~~~~~(\star)$

Прямую l представим в параметрической форме

$\dfrac{x+14}{1}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-1}{3}=t~~\Leftrightarrow~~\begin{cases}&\text{}x=t-14\\&\text{}y=4t-1\\&\text{}z=3t+1\end{cases}$

Найдем точки пересечения прямой и плоскости (в параметрической форме уже выражены через x,y,z, тогда поставляем в $(\star)$ )

$t-14+4(4t-1)+3(3t+1)=0\\ t-14+16t-4+9t+3=0\\26t=15\\ t=\dfrac{15}{26}$

Координаты точки пересечения: $A_0\bigg(\dfrac{15}{26}-14;4\cdot\dfrac{15}{26}-1;3\cdot\dfrac{15}{26}+1\bigg);~~~A_0\bigg(-\dfrac{349}{26};\dfrac{17}{13};\dfrac{71}{26}\bigg)$

Известная точка А и искомая точка А', лежат на этой прямой, симметрично точке пересечения двух прямых A₀ (эта точка делит отрезок AA' пополам). Координаты центра отрезка точки A₀ :

$x_{A_0}=\dfrac{x_A+x_{A'}}{2}~~\Rightarrow~~ x_{A'}=2x_{A_0}-x_A=2\cdot\bigg(-\dfrac{349}{26}\bigg)-3=-\dfrac{388}{13}\\ \\ y_{A_0}=\dfrac{y_A+y_{A'}}{2}~~\Rightarrow~~ y_{A'}=2y_{A_0}-y_A=2\cdot\dfrac{17}{13}-2=\dfrac{8}{13}\\ \\ z_{A_0}=\dfrac{z_A+z_{A'}}{2}~~\Rightarrow~~ z_{A'}=2z_{A_0}-z_A=2\cdot\dfrac{71}{26}-0=\dfrac{71}{13}$

$A'=\bigg(-\dfrac{388}{13};\dfrac{8}{13};\dfrac{71}{13}\bigg)$ — искомая точка