• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α
• если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение:
![L= \frac{a t^{2} }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=L%3D+%5Cfrac%7Ba+t%5E%7B2%7D+%7D%7B2%7D+)
○ поэтому время скатывания равно:
![t= \sqrt{ \frac{2L}{a} }](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B2L%7D%7Ba%7D+%7D+)
• по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1)
• так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2)
○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания:
![t= \sqrt{ \frac{2b}{gsin \alpha cos \alpha } }](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B2b%7D%7Bgsin+%5Calpha+cos+%5Calpha+%7D+%7D+)
• возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение):
![t= \sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } } \\ \\ \frac{1}{2\sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } }} \frac{0-4gb(sin2 \alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 \alpha }=0 \\ \\ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{4b} } \frac{-4gb2cos2 \alpha }{ g^{2} sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{b} } \frac{2bcos2 \alpha }{g sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \frac{ \sqrt{sin2 \alpha }2 \sqrt{b}cos2 \alpha }{ \sqrt{g} sin^{2}2 \alpha } =0 ](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B4b%7D%7Bgsin2+%5Calpha+%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B4b%7D%7Bgsin2+%5Calpha+%7D+%7D%7D+%5Cfrac%7B0-4gb%28sin2+%5Calpha+%29%27%7D%7B+g%5E%7B2%7D+sin%5E%7B2%7D2+%5Calpha+++%7D%3D0+++%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bgsin2+%5Calpha+%7D%7B4b%7D+%7D+%5Cfrac%7B-4gb2cos2+%5Calpha+%7D%7B+g%5E%7B2%7D+sin%5E%7B2%7D2+%5Calpha+++%7D+%3D0++%5C%5C++%5C%5C+-+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bgsin2+%5Calpha+%7D%7Bb%7D+%7D+%5Cfrac%7B2bcos2+%5Calpha+%7D%7Bg+sin%5E%7B2%7D2+%5Calpha++%7D++%3D0+%5C%5C++%5C%5C+-+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7Bsin2+%5Calpha+%7D2+%5Csqrt%7Bb%7Dcos2+%5Calpha+++%7D%7B+%5Csqrt%7Bg%7D+sin%5E%7B2%7D2+%5Calpha+++%7D+%3D0%0A)
данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z):
![cos2 \alpha =0 \\ \\ 2 \alpha = \frac{ \pi }{2} + \pi k \\ \\ \alpha = \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi k}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=cos2+%5Calpha+%3D0+%5C%5C++%5C%5C+2+%5Calpha+%3D+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+%2B+%5Cpi+k++%5C%5C++%5C%5C++%5Calpha+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%2B+%5Cfrac%7B%5Cpi+k%7D%7B2%7D+++)
ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов:
![sin2 \alpha \neq 0 \\ \\ a \neq \frac{\pi k}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=sin2+%5Calpha++%5Cneq+0++%5C%5C++%5C%5C+a+%5Cneq++%5Cfrac%7B%5Cpi+k%7D%7B2%7D+)
то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°