Номер 457
1) 128+4=132( метров) - ширина прямоугольника.
2) 128×132 =16,896( м²) - площадь
Ответ : площадь участка равна 16,896 квадратных метров .
номер 458.
1) 75+27= 102 ( книг ) - всего книг вместе .
2) 102:2 = 51 ( книга )
Ответ :51 книгу нужно переставить .
6 - 10с = - 7с - 21 0,4а - 1,4 = - 0,5 - 3,2
- 10с + 7с = - 21 - 6 0,4а = - 0,5 - 3,2 + 1,4
- 3с = - 27 0,4а = - 2,3
с = - 27 : (-3) а = - 2,3 : 0,4
с = 9 а = - 5,75
0,4х - х - 1,8 = - х + 0,6 (у - 3) : 4 = (5 - 2у) : (-9)
0,4х - х + х = 0,6 + 1,8 4 * (5 - 2у) = - 9 * (у - 3)
0,4х = 2,4 20 - 8у = - 9у + 27
х = 2,4 : 0,4 - 8у + 9у = 27 - 20
х = 6 у = 7
Значения sin(a), cos(a), tg(a), ctg(a) , где
![a \in (0; \frac{\pi}{2} )](https://tex.z-dn.net/?f=a+%5Cin+%280%3B+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%29)
- положительные.
используем формулу суммы углов:
![cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb](https://tex.z-dn.net/?f=cos%28a%2Bb%29%3Dcosa%2Acosb-sina%2Asinb)
тогда:
![cosa*cosb-sina*sinb=- \frac{2}{7} \\cosa= \frac{1}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=cosa%2Acosb-sina%2Asinb%3D-+%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D+%0A%5C%5Ccosa%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D+)
находим sina по основному тригонометрическому тождеству:
![sin^2a+cos^2a=1 \\sina=\sqrt{1-cos^2a}=\sqrt{1- \frac{1}{81} }=\sqrt{ \frac{80}{81} }= \frac{\sqrt{80}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E2a%2Bcos%5E2a%3D1%0A%5C%5Csina%3D%5Csqrt%7B1-cos%5E2a%7D%3D%5Csqrt%7B1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B81%7D+%7D%3D%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B80%7D%7B81%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B80%7D%7D%7B9%7D+%3D+%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B9%7D+)
подставляем:
![\frac{1}{9}*cosb-\frac{4\sqrt{5}}{9}*sinb=-\frac{2}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2Acosb-%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B9%7D%2Asinb%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D)
так как мы знаем, что в данной задаче значения этих функций положительны, то можем выразить cosb через основное тригонометрическое тождество:
![cosb=\sqrt{1-sin^2b}](https://tex.z-dn.net/?f=cosb%3D%5Csqrt%7B1-sin%5E2b%7D)
подставляем:
![\frac{1}{9}*\sqrt{1-sin^2b}-\frac{4\sqrt{5}}{9}*sinb=-\frac{2}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2A%5Csqrt%7B1-sin%5E2b%7D-%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B9%7D%2Asinb%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D)
для удобства сделаем замену:
![sinb=y,\ y \in [0;1]](https://tex.z-dn.net/?f=sinb%3Dy%2C%5C+y+%5Cin+%5B0%3B1%5D)
теперь решаем это уравнение:
![\frac{1}{9}*\sqrt{1-y^2}-\frac{4\sqrt{5}}{9}*y=-\frac{2}{7} \\\sqrt{1-y^2}-4\sqrt{5}*y= -\frac{18}{7} \\\sqrt{1-y^2}=-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*y](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2A%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D-%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B9%7D%2Ay%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B7%7D%0A%5C%5C%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D-4%5Csqrt%7B5%7D%2Ay%3D+-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%0A%5C%5C%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%2B4%5Csqrt%7B5%7D%2Ay)
возводим обе части в квадрат:
![1-y^2=(4\sqrt{5}*y-\frac{18}{7})^2 \\1-y^2= 80y^2- \frac{4\sqrt{5}*18*2*y}{7} + \frac{324}{49} \\1-y^2=80y^2- \frac{144\sqrt{5}}{7} *y+\frac{324}{49} \\81y^2-\frac{144\sqrt{5}}{7} *y+\frac{324}{49} -1=0 \\81y^2-\frac{144\sqrt{5}}{7} *y+ \frac{275}{49} =0](https://tex.z-dn.net/?f=1-y%5E2%3D%284%5Csqrt%7B5%7D%2Ay-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D%29%5E2%0A%5C%5C1-y%5E2%3D+80y%5E2-+%5Cfrac%7B4%5Csqrt%7B5%7D%2A18%2A2%2Ay%7D%7B7%7D+%2B+%5Cfrac%7B324%7D%7B49%7D+%0A%5C%5C1-y%5E2%3D80y%5E2-+%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%2Ay%2B%5Cfrac%7B324%7D%7B49%7D+%0A%5C%5C81y%5E2-%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%2Ay%2B%5Cfrac%7B324%7D%7B49%7D+-1%3D0%0A%5C%5C81y%5E2-%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%2Ay%2B+%5Cfrac%7B275%7D%7B49%7D+%3D0)
но:
![-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*y \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%2B4%5Csqrt%7B5%7D%2Ay+%5Cgeq+0)
теперь решаем это квадратное уравнение:
![D=(-\frac{144\sqrt{5}}{7})^2-4*81*\frac{275}{49}= \frac{144^2*5}{49} - \frac{4*81*275}{49} = \frac{144^2*5-4*81*275}{49} = \\= \frac{14580}{49} = (\frac{54\sqrt{5}}{7} )^2 \\y_1= \frac{\frac{144\sqrt{5}}{7}+\frac{54\sqrt{5}}{7} }{2*81} = \frac{ \frac{198\sqrt{5}}{7} }{162}= \frac{198*\sqrt{5}}{7*162} = \frac{11\sqrt{5}}{63} \\y_2=\frac{\frac{144\sqrt{5}}{7}-\frac{54\sqrt{5}}{7} }{2*81}= \frac{ \frac{90\sqrt{5}}{7} }{162} = \frac{90\sqrt{5}}{7*162} = \frac{5\sqrt{5}}{63}](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%28-%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D%29%5E2-4%2A81%2A%5Cfrac%7B275%7D%7B49%7D%3D+%5Cfrac%7B144%5E2%2A5%7D%7B49%7D+-+%5Cfrac%7B4%2A81%2A275%7D%7B49%7D+%3D+%5Cfrac%7B144%5E2%2A5-4%2A81%2A275%7D%7B49%7D+%3D%0A%5C%5C%3D+%5Cfrac%7B14580%7D%7B49%7D+%3D+%28%5Cfrac%7B54%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%29%5E2%0A%5C%5Cy_1%3D+%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B54%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%7D%7B2%2A81%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B198%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%7D%7B162%7D%3D+%5Cfrac%7B198%2A%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%2A162%7D+%3D+%5Cfrac%7B11%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+%0A%5C%5Cy_2%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B144%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D-%5Cfrac%7B54%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%7D%7B2%2A81%7D%3D+%5Cfrac%7B+%5Cfrac%7B90%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%7D+%7D%7B162%7D+%3D+%5Cfrac%7B90%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B7%2A162%7D+%3D+%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+)
проверяем:
![-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*\frac{11\sqrt{5}}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7}+ \frac{44*5}{63} \geq 0 \\\frac{220}{63}-\frac{18}{7} \geq 0 \\ \frac{58}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7} +4\sqrt{5}*\frac{5\sqrt{5}}{63} \geq 0 \\-\frac{18}{7}+ \frac{100}{63} \geq 0 \\\frac{100}{63}-\frac{18}{7} \geq 0 \\ -\frac{62}{63} \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%2B4%5Csqrt%7B5%7D%2A%5Cfrac%7B11%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+%5Cgeq+0%0A%5C%5C-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D%2B+%5Cfrac%7B44%2A5%7D%7B63%7D++%5Cgeq+0%0A%5C%5C%5Cfrac%7B220%7D%7B63%7D-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%5Cgeq+0%0A%5C%5C+%5Cfrac%7B58%7D%7B63%7D++%5Cgeq+0%0A%5C%5C-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%2B4%5Csqrt%7B5%7D%2A%5Cfrac%7B5%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+%5Cgeq+0%0A%5C%5C-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D%2B+%5Cfrac%7B100%7D%7B63%7D++%5Cgeq+0%0A%5C%5C%5Cfrac%7B100%7D%7B63%7D-%5Cfrac%7B18%7D%7B7%7D+%5Cgeq+0%0A%5C%5C+-%5Cfrac%7B62%7D%7B63%7D++%5Cgeq+0)
значит корень y2 не подходит.
В итоге мы получили, что:
![sinb=\frac{11\sqrt{5}}{63}](https://tex.z-dn.net/?f=sinb%3D%5Cfrac%7B11%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+)
теперь ищем cosb:
![cosb=\sqrt{1-sin^2b}=\sqrt{1-(\frac{11\sqrt{5}}{63} )^2}=\sqrt{1- \frac{11^2*5}{63^2} }=\sqrt{ \frac{63^2-11^2*5}{63^2} }=\\= \sqrt{\frac{3364}{63^2} }=\sqrt{ \frac{58^2}{63^2} }= \frac{58}{63}](https://tex.z-dn.net/?f=cosb%3D%5Csqrt%7B1-sin%5E2b%7D%3D%5Csqrt%7B1-%28%5Cfrac%7B11%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B63%7D+%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B1-+%5Cfrac%7B11%5E2%2A5%7D%7B63%5E2%7D+%7D%3D%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B63%5E2-11%5E2%2A5%7D%7B63%5E2%7D+%7D%3D%5C%5C%3D+%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3364%7D%7B63%5E2%7D+%7D%3D%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B58%5E2%7D%7B63%5E2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B58%7D%7B63%7D+)
Ответ: 58/63