![2y'=\dfrac{y^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{y}{x}+3](https://tex.z-dn.net/?f=2y%27%3D%5Cdfrac%7By%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B6%5Ccdot%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B3)
Это дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся заменой
, тогда дифференцируя обе части, имеем
. Подставляем в исходное уравнение
![2(u'x+u)=\dfrac{u^2x^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{ux}{x}+3\\ \\ 2u'x+2u=u^2+6u+3\\ \\ 2u'x=u^2+4u+3](https://tex.z-dn.net/?f=2%28u%27x%2Bu%29%3D%5Cdfrac%7Bu%5E2x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B6%5Ccdot%5Cdfrac%7Bux%7D%7Bx%7D%2B3%5C%5C%20%5C%5C%202u%27x%2B2u%3Du%5E2%2B6u%2B3%5C%5C%20%5C%5C%202u%27x%3Du%5E2%2B4u%2B3)
Получили уравнение с разделяющимися переменными
![2\displaystyle \int\dfrac{du}{u^2+4u+3}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~2\int\dfrac{d(u+2)}{(u+2)^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ 2\cdot\dfrac{1}{2\cdot1}\ln\bigg|\dfrac{u+2-1}{u+2+1}\bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg|\dfrac{u+1}{u+3}\bigg|=\ln\bigg|\dfrac{C}{x}\bigg|~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{u+1}{u+3}=\dfrac{C}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bu%5E2%2B4u%2B3%7D%3D%5Cint%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D~~~%5CRightarrow~~~2%5Cint%5Cdfrac%7Bd%28u%2B2%29%7D%7B%28u%2B2%29%5E2-1%7D%3D%5Cint%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%5C%5C%20%5C%5C%202%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Ccdot1%7D%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7Bu%2B2-1%7D%7Bu%2B2%2B1%7D%5Cbigg%7C%3D%5Cln%7Cx%7C%2B%5Cln%20C%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7Bu%2B1%7D%7Bu%2B3%7D%5Cbigg%7C%3D%5Cln%5Cbigg%7C%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D%5Cbigg%7C~~~%5CRightarrow~~~%20%5Cdfrac%7Bu%2B1%7D%7Bu%2B3%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D)
Сделаем обратную замену: u = y/x, получим
![\dfrac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+3}=\dfrac{C}{x}~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{y+x}{y+3x}=\dfrac{C}{x}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B1%7D%7B%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%2B3%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D~~~%5CRightarrow~~~%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7By%2Bx%7D%7By%2B3x%7D%3D%5Cdfrac%7BC%7D%7Bx%7D%7D)
Получили общий интеграл.
Подставляем y в уравнение
y'= C*3*x^2
3*Сx^3-x*C*3*x^2=0
Верное равенство.
Ответ:
√3у.
Объяснение:
√12у+√48у - √75у = √(4•3)у+√(16•3)у - √(25•3)у = (2√3 + 4√3 - 5√3)•у = √3у.
1)2⁵×(2⁻²)*ˣ=2⁷ х=-1 2⁵×(2⁻²)⁻¹=2⁵⁺⁽⁻²⁾*⁽⁻¹⁾ =2⁷<span>
2)4</span>⁵×8⁻²*ˣ =4⁷ ⇒ 2¹⁰ × 2⁻⁶*ˣ =2¹⁴ х=(14-10)/-6= -2/3
2¹⁰ × 2⁻⁶* ⁽⁻²/³) =2¹⁰ ⁺ ⁽⁻⁶⁾*⁽⁻²/³⁾ =2¹⁴ <span>
3)5</span>⁵×5 ⁻² /ˣ=5⁷ х=-1 5⁵×5 ⁻² /⁽⁻¹⁾=5⁵⁺²=5⁷
<span>D=36-4*1*(-7)=36+28=64
x1=1
x2=-7
х^2+6x-7=(x-1)*(x+7)</span>