Question

Сумма 3 членов геометрической прогрессии равна 7 а их произведение равно 8. найти сумму бесконечной геометрической прогрессии

Answer 1

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 7? Иначе первый член не найти, а значит, и сумму.
По условию:

$b_1+b_2+b_3=7 \\ b_1*b_2*b_3=8$

Уравнений два, переменных три. Ищем ещё одно уравнение. Им будет характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_n^2 = b_{n-1}* b_{n+1} \\ \\ b_2^2 = b_{1}* b_{3}$

Вот теперь есть три уравнения с тремя неизвестными.
$b_1+b_2+b_3=7 \\ b_1*b_2*b_3=8 \\ b_{1}* b_{3} = b_2^2$

Второе уравнение разделим на третье:

$\frac{b_1*b_2*b_3}{b_{1}* b_{3}} = \frac{8}{b_2^2} \\ \\ b_2 = \frac{8}{b_2^2} \\ \\ b_2^3 = 8 \\ \\ b_2 = 2$

Подставим полученное значение в первое и второе уравнения:

$b_1+2+b_3=7 \\ b_1*2*b_3=8 \\ \\ b_1+b_3=5 \\ b_1*b_3=4 \\ \\ b_1 =5 -b_3 \\ \\ (5 -b_3)b_3 = 4 \\ 5b_3 -b_3^2 = 4 \\ b_3^2 -5b_3 +4 =0 \\ D = 5^2 -4*1*4 =9 \\ \\ b_3= \frac{5- \sqrt{9} }{2*1} = 1 \\ b_1 = 5 -b_3 = 5 -1 = 4 \\ \\ b_3= \frac{5+ \sqrt{9} }{2*1} = 4 \\ b_1 = 5 -b_3 = 5 -4 = 1$

В результате было получено два решения:
$b_1 = 1; b_2 = 2; b_3 = 4; q = 2 \\ \\ b_1 = 4; b_2 = 2; b_3 = 1; q = \frac{1}{2}$

Требуется найти сумму бесконечной геометрической прогрессии. Наверно, бесконечно убывающей, иначе, для нахождения суммы потребуется знать число членов.
Итак, ищем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии 1/2 и первым членом 4.

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{4}{1- \frac{1}{2} } = \frac{4}{ \frac{1}{2} } =8$

Ответ: 8