Докажем методом математической индукции
1)n=1
7*7^2+2*4^1=343+8=351=3*117 верно, кратно 3
2)допустим, что верно при n=k
<span>7*7^(2k)+2*4^k кратно 3
3)докажем, что верно при n=k+1
</span><span>7*7^(2k+2)+2*4^(k+1)=
</span>=7*7^(2k)*7^2+2*4^k*4=
=7*7^(2k)*(1+48)+2*4^k*(3+1)=
=7*7^(2k)+48*7*7^(2k)+2*4^k+2*4^k*3=
=(7*7^(2k)+2*4^k)+(3*16*7*7^(2k))+(3*2*4^k)
---------------------- -------------------- ------------
кратно 3 кратно 3 кратно 3 (один из множителей равен 3)
выражение в каждой из скобок кратно 3
Второй вариант в виде десятичной дроби
2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145,...
Поскольку каждый следующий элемент однозначно определяется предыдущим, то как только в последовательности встретится число, которое уже было раньше, последоватеьлность с этого места начнет повторяться. Такой момент наступает на 16-ом элементе: число 89 уже было на 8-м месте. Итак, до начала периодичности записано 7 элементов: 2016, 41, 17, 50, 25, 29, 85, а после этого последовательность из 8 элементов 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58 циклически повторяется. Т.к. 2016-7=2009=8*251+1, то после семи первых элементов в 2009 элементов укладывается 251 полный период длиной 8, и поскольку остаток равен 1, то 2016-ый элемент равен первому элементу в периоде, т.е. 89. Ответ: 89.
(5c+7d)^2-70cd=25c^2+70cd+49d^2-70cd=25c^2+49d^2<span>(8m-n)^2-64m=64m^2-16mn+n^2-64m=64m^2-80mn+n^2
</span><span>(3a-b)(3a+b)+b^2=9a^2-b^2+b^2=9a^2
</span><span>9x^2-(y+4x)(y-4x)=9x^2-y^2+16x^2=25x^2-y^2
</span><span>(5c-6d)(5c+6d)-25c^2=25c^2-36d^2-25c^2=-36d^2
</span><span>(7m-10n)(7m+10n)-100n^2=49m^2-100n^2-100n^2=49m^2-200n^2
</span><span>2(a-2)(a+2)=9(a^2-4)=9a^2-36
</span>x(x+4)(x-4)=x(x^2-16)=x^3-16x
<span>5c(c+3)(c-3)=5c(c^2-9)=5c^3-45c
</span>7d^2(d-1)(d+1)=7d^2(d^2-1)=7d^4-7d^2
если есть ошибки без обид
1)Найдём а2=a1+4=2+4=6;
2)Разность d=a2-a1=6-2=4
3)a6=a1+5d=2+5*4=22
Ответ: 22