Question

Предел функции, помогите пожалуйста, с решением
1) lim x ( стремится к 0) (x)/((√x+1)-1)
2)lim x (стремится к 0) ((√x+4)-2)/(x)
3)lim x (стремится к 0) (x²)/((√x²+1)-1)

Answer 1

Неопределённость 0/0 раскрывается по правилу Лопиталя или умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение.

1)
$\lim_{x \to \inft0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} = \lim_{x \to \inft0} \frac{x*(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)*(\sqrt{x+1}+1)} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} \frac{x*(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1} =\lim_{x \to \inft0} (\sqrt{x+1}+1)= \sqrt{0+1} +1= 2$

или (по Лопиталю)

$\lim_{x \to \inft0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} = \lim_{x \to \inft0} \frac{x'}{(\sqrt{x+1}-1)'} =\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{ \frac{1}{2} (x+1)^{- \frac{1}{2} }} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} 2 (x+1)^{ \frac{1}{2}} =\lim_{x \to \inft0} 2 \sqrt{x+1} =2 \sqrt{0+1} =2$

2)
$\lim_{x \to \inft0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} = \lim_{x \to \inft0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)*(\sqrt{x+4}+2)}{x*(\sqrt{x+4}+2)} = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{x+4-4}{x*(\sqrt{x+4}+2)} =\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{ \sqrt{0+4} +2} = \frac{1}{4}$

или (по Лопиталю)

$\lim_{x \to \inft0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\lim_{x \to \inft0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)'}{x'} = \lim_{x \to \inft0} \frac{1}{2} (x+4)^{- \frac{1}{2} } = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{2 \sqrt{x+4} }= \frac{1}{2* \sqrt{0+4} } = \frac{1}{4}$

3)
$\lim_{x \to \inft0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} =\lim_{x \to \inft0} \frac{x*(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)*(\sqrt{x+1}+1)} = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{x*(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1} = \lim_{x \to \inft0} (\sqrt{x+1}+1) = (\sqrt{0+1}+1) = 2$

или (по Лопиталю)
$\lim_{x \to \inft0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} =\lim_{x \to \inft0} \frac{x'}{(\sqrt{x+1}-1)'} = \lim_{x \to \inft0} \frac{1}{ \frac{1}{2} (x+1)^{- \frac{1}{2}}}= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} 2 (x+1)^{ \frac{1}{2}} =\lim_{x \to \inft0} 2 \sqrt{x+1} = 2 \sqrt{0+1} =2$