1.По теореме Пифагора:
d=корень((3*корень2)^2+(3*корень2)^2)=корень из 36=6
Ответ: Диагональ ребра куба 6
2. Аналогично по теореме пифагора:
d=корень((4*корень3)^2+(4*корень3)^2)=корень из 96=4*корень из 6
Это мы нашли диагональ грани куба,а теперь рассмотрим прямоугольный треугольник,по теореме пифагора:
D=корень((4*корень6)^2+(4*корень3)^2)=корень из 144=12
Ответ: Диагональ куба равна 12
1 задача 1.Проведём АН -медиану правильного треугольника АВС. Она перпендикулярна стороне ВС, т.к. медиана правильного треугольника одновременно является его высотой.
2.В треугольнике АНС угол Н равен 90 град, сторона АС равна а (по условию), сторона НС равна а/2, т.к. АН-медиана АВС.
АН= sqr(a^2- (a/2)^2)=sqr((3a^2) /4)=(a*sqr3) / 2
3.В треугольнике ДАН угол А равен 90 град, т.к. ДА препенд. пл-ти АВС., угол Н равен 30 град, НА =(a*sqr3) / 2.
Найдём ДА через tg угла ДНС:
tg 30 = ДА / (a*sqr3) / 2, отсюда ДА= а/2
4.Найдём площадь боковой поверхности пирамиды:
S=S(ДАС)+ S(ДАВ)+S(СВД)
S(ДАС)=1/2*АС*АД=1/2*а*а/2=a^2 /4
S(ДАВ)=S(ДАС)=a^2 /4
S(СВД)=1/2*ВС*ДН
ДН найдём из треугольника ДНС ДН= ДА / sin 30= (a/2): 1/2=a
S(СВД)=1/2*a*a=1/2*a^2
S = 2*(a^2 /4) + a^2 /2 = a^2
радиус окружности описанной возле правильного треугольника находится по формуле : R=корень из 3 делить на три и умноженный на сторону треугольника
R=корень из 3 деленный на три умножаем на 4 корня из 6
R=корень из 288 деленного на 3
R=12 корней из 2 и все это делить на 3
R=4 корня из 2
далее находим сторону квадрата вписанного в эту же окружности
радиус окружности треугольника равен радиусу окружности квадрата
радиус квадрата равен R=корень из 2 деленный на 2 и все это умножить на сторону квадрата (t)
выражаем t из этой формулы получаем
t= R делить на корень из 2 деленный на 2
t=4корня из 2 делить на корень из 2 деленный на 2
t=8 см
Ответ: 8 см.
Стандартное доказательство теорем Чевы и Ван-Обеля такое. Через вершину A (все равно какую, это не принципиально) проводится прямая параллельно BC, прямые CC1 и BB1 продолжаются до пересечения с этой прямой в точках C2 и B2 соответственно.
Получается целая куча подобных треугольников, из которых получаются следующие пропорции.
Из подобия ΔAC1C2 и ΔBCC1
AC1/BC1 = AC2/BC; (1)
Из подобия ΔAB1B2 и ΔBCB1
AB1/CB1 = AB2/BC; (2)
Из подобия ΔAC2K и ΔA1CK
AC2/CA1 = AK/KA1; (3)
Из подобия ΔAB2K и ΔA1BK
AB2/BA1 = AK/KA1; (4)
Если два последних равенства (3) и (4) поделить друг на друга, получится
AC2/AB2 = CA1/BA1;
Из первых двух равенств (1) и (2) получается
(AC1/BC1)*(CB1/AB1) = AC2/AB2 = (как только что показано) = CA1/BA1;
Отсюда получается теорема Чевы
(AC1*BA1*CB1)/(AB1*CA1*BC1) = 1; (5)
то есть если AA1; BB1 и CC1 пересекаются в одной точке K, то выполнено соотношение (5). Но это еще не все, что можно получить.
Из (3) и (4) получается
AC2 = (AK/KA1)*CA1; AB2 = (AK/KA1)*BA1;
то есть B2C2 = (AK/KA1)*(CA1 + BA1) = (AK/KA1)*BC;
или B2C2/BC = AK/KA1;
Если сложить (1) и (2), получится
AC1/BC1 + AB1/CB1 = (AC2 + AB2)/BC = B2C2/BC;
получилась теорема Ван-Обеля
AK/KA1 = AC1/BC1 + AB1/CB1; (6)
Теперь решение задачи. Я перехожу от общепринятых обозначений к обозначениям на чертеже автора. Пусть N - точка пересечения CF и AB;
Из (5)
(AD/DC)*(CE/EB)*(BN/AN) = 1;
из (6)
AF/FE = AN/BN + AD/DС;
то есть AF/FE = (AD/DC)*(CE/EB) + AD/DC = (AD/DC)*(1 + CE/EB); что и требовалось.