Question

Найти sin4a если известно, что tg(a+pi/4)=-√2

Answer 1

$\mathop{\mathrm{tg}}\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}}\alpha+\mathop{\mathrm{tg}}\frac\pi4}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\alpha\mathop{\mathrm{tg}}\frac\pi4}=\dfrac{1+\mathop{\mathrm{tg}}\alpha}{1-\mathop{\mathrm{tg}}\alpha}=-\sqrt2\\ 1+\mathop{\mathrm{tg}}\alpha=\sqrt{2}(\mathop{\mathrm{tg}}\alpha-1)\\ \mathop{\mathrm{tg}}\alpha=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=3+2\sqrt2=t$

Формулы тангенса половинного угла:
$\cos2\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\qquad\sin2\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}$

Тогда
$\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=\dfrac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2}$

$t^2=(3+2\sqrt2)^2=17+12\sqrt2\\ (1+t^2)^2=(18+12\sqrt2)^2=36(3+2\sqrt2)^2\\ \sin4\alpha=\dfrac{-4(3+2\sqrt2)(16+12\sqrt2)}{36(3+2\sqrt2)^2}=-\dfrac{4(4+3\sqrt2)}{9(3+2\sqrt2)}=\\=-\dfrac{4(4+3\sqrt2)(3-2\sqrt2)}{9}=-\dfrac{4\sqrt2}9$

______________________________________________________

Другой способ. Найдём sin и cos, потом удвоим угол.
$\begin{cases}\cos^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{1+\mathop{\mathrm{tg}}^2(\alpha+\frac\pi4)}=\dfrac13\\ \sin^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=1-\cos^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=\dfrac23\end{cases}\\ \begin{cases}-\sin2\alpha=\cos\left(2\alpha+\dfrac\pi2\right)=2\cos^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)-1=-\dfrac13\\ \cos^22\alpha=\sin^2\left(2\alpha+\dfrac\pi2\right)=4\sin^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)\cos^2\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=\dfrac89\end{cases}$

Если tg(α + π/4) < 0, то πn + π/2 < α + π/4 < πn + π, πn + π/4 < α < πn + 3π4. Значит, 2πn + π/2 < 2α < 2πn + 3π/2, и cos 2α < 0.

$\begin{cases}\sin2\alpha=\dfrac13\\ \cos2\alpha=-\dfrac{2\sqrt2}3\end{cases}\\ \sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=-\dfrac{4\sqrt2}9$