Question

Вычислите двойной интеграл cos(x+y)dxdy где D:

Answer 1

Область Д - треугольник со сторонами  у=х (биссектриса 1 и 3 координатных углов),прямая у=П и ось ОУ.

$\iint _{D}cos(x+y)dxdy=\int_0^{\pi }dx\int _{x}^{\pi }cos(x+y)dy=\int _0^{\pi }(sin(x+y))\, |_{x}^{\pi }=\\\\=\int _0^{\pi }(sin(x+\pi )-sin2x)dx=(-cos(x+\pi )+\frac{1}{2}cos2x)\, |_0^{\pi }=\\\\=-cos2\pi +\frac{1}{2}cos2\pi -(-sin\pi +\frac{1}{2}cos0)=-1+\frac{1}{2}-(0+\frac{1}{2})=-1$