Раскроем скобки:
![(4n+1)^2 - (n+4)^2=(4n+1-n-4)(4n+1+n+4) = \\ 15(n-1)(n+1) \\ \\ \frac{15(n-1)(n+1)}{120} = \frac{(n-1)(n+1)}{8}](https://tex.z-dn.net/?f=%284n%2B1%29%5E2+-+%28n%2B4%29%5E2%3D%284n%2B1-n-4%29%284n%2B1%2Bn%2B4%29++%3D++%5C%5C++15%28n-1%29%28n%2B1%29+%5C%5C++%5C%5C++++%5Cfrac%7B15%28n-1%29%28n%2B1%29%7D%7B120%7D+%3D+%5Cfrac%7B%28n-1%29%28n%2B1%29%7D%7B8%7D+)
Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8.
Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)
![(n-1)(n+1) = (2k+1-1)*(2k+1+1) = 4k*(k+1) \\ \\ \frac{4k*(k+1)}{8} = \frac{k*(k+1)}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%28n-1%29%28n%2B1%29+%3D+%282k%2B1-1%29%2A%282k%2B1%2B1%29+%3D+4k%2A%28k%2B1%29++%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B4k%2A%28k%2B1%29%7D%7B8%7D+%3D++%5Cfrac%7Bk%2A%28k%2B1%29%7D%7B2%7D++)
Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.
Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2;
Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2.
Аналогично если k - чётное число.
На основании вышеизложенного приходим к выводу, что <span>(4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.</span>