Question

Найдите точку максимума функции y=√4-4x-x2

Answer 1

$y= \sqrt{4-4x-x^2} \\ \\ y'= \frac{-4-2x}{2 \sqrt{4-4x-x^2}}$

Находим корни числителя:
$-4-2x=0 \\2x=-4 \\ x=-4/2=-2$

теперь корни знаменателя:
$2 \sqrt{4-4x-x^2}=0 \\ 4-4x-x^2=0 \\ x^2+4x-4=0 \\ \\ D=16-4*(-4)=16+16=2*16 \\ \sqrt{D} = \sqrt{2*16}=4 \sqrt{2} \\ \\ x_{1,2}= \frac{-4^+_- 4\sqrt{2} }{2} =-2^+_-2 \sqrt{2}$

Теперь найдем ОДЗ функции $y= \sqrt{4-4x-x^2}$
$4-4x-x^2 \geq 0 \\ \\ x^2+4x-4 \leq 0 \\ \\ x_{1,2}=-2^+_-2 \sqrt{2} \\ \\ ++++[-2- 2\sqrt{2} ]---[-2- 2\sqrt{2}]+++\ \textgreater \ x \\ \\ x \in [-2- 2\sqrt{2}; \ -2+ 2\sqrt{2}]$

и наконец, находим точку максимуму, с помощью метода инервалов

$[-2- 2\sqrt{2}]+++[-2]----[-2+ 2\sqrt{2}]\ \textgreater \ x$

точка максимума получается при переходе с плюса на минус
Поэтому x=-2 - точка максимума

Ответ: -2