Question

ВАРИАНТ 4
1 Доказать: A \ B ⊆A.
2 Существуют ли такие множества A, Bи C, что A∩B≠∅, A∩ С≠∅, (A∩B) \ С ≠∅.
3 Доказать, что множество во всех корней многочленаΨ(x)=(f(x))2+(φ(x))2 есть пересечение множеств корней многочленов f(x) и φ(x).
4 Доказать тождество (A∪B) ∩A = (A ∩B) ∪ A = A ПОМОГИТЕ ПЖС ПЖС ПЖС

Answer 1

1.
По определению:

$A\setminus B = \{ x\in A| x\notin B\}$

Следовательно:
$\forall x\in A\setminus B \Rightarrow x\in A$

Т.е. $A\setminus B \subseteq A$

2.
Ответ положительный. Пусть,
$A = B =\{1,2\}, C=\{1\}$

То,
$A\cap B =\{1,2\}\ne \emptyset\\\\A\cap C=\{1\}\ne \emptyset\\\\(A\cap B)\setminus C =\{2\} \ne \emptyset$

3.
Пусть,
$C=\{c_1, c_2,...c_n\}$ - множество корней многочлена $\psi (x)$.

$A=\{a_1, a_2,...a_k\}, B=\{b_1, b_2,...b_m\}$ - множества корней $f(x), \phi(x)$ соответственно.

Достаточно доказать что два множества являются подмножествами друг друга, т.е.$A\cap B \subseteq C, C\subseteq A\cap B$

В одну сторону, $A\cap B \subseteq C:$
Если $x\in A\cap B$, то выполняется $(f(x))^2=0, (\phi(x))^2=0$ (т.к. он является корнем каждого из многочленов).
Следовательно, $\psi(x)=0+0=0$, т.е. $x \in C$.

В другую сторону, $C\subseteq A\cap B:$
Если $x\in C$ то выполняется $\psi(x)=0$, т.е.
$(f(x))^2+(\phi(x))^2=0 \iff (f(x))^2 = -(\phi(x))^2$
Т.к. $(\phi(x))^2, (f(x))^2 \geq 0$, то $(f(x))^2 =0$ (потому что при (f(x))^2 >0 получаем противоречие равенству выше).Отсюда следует, $(\phi(x))^2=0$. Т.е. $x\in A\cap B$.

Следовательно, $A\cap B = C$.

4. 
Здесь довольно очевидно, достаточно воспользоваться определением.