Question

Решите уравнение 8sin3x-15cos3x=1

Answer 1

$8sin3x-15cos3x=1\\\\\sqrt{8^2+15^2}=17\\\\\frac{8}{17}\cdot sin3x-\frac{15}{17}\cdot cos3x=\frac{1}{17}\\\\Tak\; kak\; \; (\frac{8}{17})^2+(\frac{15}{17})^2=1\; ,\; to\; \; \frac{8}{17}=cos\varphi\; ,\; \; \frac{15}{17}=sin\varphi \; \; \Rightarrow \\\\tg\varphi = \frac{15}{8} \; \; i\; \; \varphi =arctg \frac{15}{8}\\\\sin3x\cdot cos\varphi -sin\varphi \cdot cos3x=\frac{1}{17}\\\\sin(3x-\varphi )=\frac{1}{17}\\\\3x-\varphi =(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{1}{17}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\3x=\varphi+(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{1}{17}+\pi n\; ,\; n\in Z$

$x= \frac{1}{3}\cdot \varphi +\frac{(-1)^{n}}{3}\cdot arcsin\frac{1}{17}+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\\\\x= \frac{1}{3}\cdot arctg\frac{15}{8}+\frac{(-1)^{n}}{3}\cdot arcsin\frac{1}{17}+ \frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z$