Question

Найти векторное произведение векторов
a=2i+3j+5k и b = i+2j+k

Вычислить площадь треугольника АВС, где A(2, -1,3), B(-2,2,5), (1,2,3)

Answer 1

$a\cdot b= \left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ 2&3&5\\1&2&1\end{array}\right|=\overline{i} \left|\begin{array}{ccc}3&6\\ 2&1\end{array}\right|-\overline{j} \left|\begin{array}{ccc}2&5\\1&1\end{array}\right|+\overline{k} \left|\begin{array}{ccc}2&3\\1&2\end{array}\right|=-7\overline{i}+3\overline{j}+\overline{k}=(-7,3,1)$

Учтем что $\overline{a}=\overline{AB}=(-4,3,2),\, \overline{b}=\overline{AC}=(-1,3,0)$, тогда
$a\cdot b= \left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ -4&3&2\\ -1&3&0\end{array}\right|=-6\overline{i}-2\overline{j}-9\overline{k}$, откуда
$|a\cdot b|= \sqrt{36+4+81}=11$

Площадь треугольника
$S= \frac{1}{2} |a\cdot b|= \frac{1}{2} \cdot11=5.5$ кв. ед.

Ответ: 5.5 кв. ед..

Answer 2

1)a=2i+3j+5k⇒a{2;3;5}
b = i+2j+k⇒b{1;2;1}
          |i       j      k|
a*b=  |2    3     5|=(3*1-5*2)i-(2*1-5*1)j+(2*2-3*1)k=(3-10)i-(2-5)j+(3-1)k=-7i+3j+k
          |1    2      1|

2)A(2, -1,3), B(-2,2,5), (1,2,3)
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма,построенного на на векторах,имеющих общее начало.
S(АВС)=1/2*Sпар=1/2*|АВ*АС|
Найдем координаты этих векторов
AB{(-2-2);(2+1);(5-3)}={-4;32}⇒AB=-4i+3j+2k
AC{(1-2);(2+1);(3-3)}={-1;3;0}⇒AC=-i+3j
                 |i       j      k|
AB*AC=  |-4   3      2|=(3*0-3*2)i-(-4*0+1*2)j+(-4*3+3*1)k=-6i-2j-9k
                 |-1   3      0|
AB*AC{-6;-2;-9}
|AB*AC|=√(36+4+81)=√(121)=11
S(АВС)=1/5*11=5,5