Question

Укажите наименьшее целое решение неравенства (х-3)(х-5)/(х+3)(х+5) меньше либо равно х+7/х-7

Answer 1

$\displaystyle \frac{(x-3)(x-5)}{(x+3)(x+5)} \leq \frac{x+7}{x-7}$

$\displaystyle \frac{(x-3)(x-5)(x-7)-(x+3)(x+5)(x+7)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$

$\displaystyle \frac{(x^2-8x+15)(x-7)-(x^2+8x+15)(x+7)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$

$\displaystyle \frac{-30x^2-105}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$

$\displaystyle \frac{-30(x^2+3.5)}{(x+30(x+5)(x-7)} \leq 0$

числитель ни при каких х не равен нулю

значит отмечаем точки, где выражение не имеет смысла

     +             -             +                 -
--------- -5 ------- -3 ----------- 7 -----------------

Значит промежутки решения (-5;-3)∪(7;+∞)

Наименьшее целое решение   х= -4

Answer 2

$\frac{(x-3)(x-5)}{(x+3)(x+5)} \leq \frac{x+7}{x-7}$
ОДЗ: x =/= -5; -3; 7
$\frac{(x-3)(x-5)(x-7) - (x+3)(x+5)(x+7)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
$\frac{(x^2 - 8x + 15)(x - 7) - (x^2 + 8x + 15)(x + 7)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
$\frac{x^3 - 8x^2 + 15x - 7x^2 + 56x - 105 - (x^3 + 8x^2 + 15x + 7x^2 + 56x + 105)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
$\frac{-8x^2 - 7x^2 - 105 - (8x^2 + 7x^2 + 105)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
$\frac{-30x^2 - 210}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
$\frac{-30(x^2 + 7)}{(x+3)(x+5)(x-7)} \leq 0$
x^2 + 7 > 0 при любом х, -30 < 0 при любом х, поэтому все зависит от знаменателя.
(x+3)(x+5)(x-7) > 0
По методу интервалов
x ∈ (-5; -3) U (7; +oo)
Наименьшее целое решение: -4