Question

Помогите пожалуйста вычислить (1-i)в 20 степени

Answer 1

Переводим число в тригонометрический вид:
$x+yi=r(cos\varphi +isin\varphi )$, где $r= \sqrt{x^2+y^2}$
и пользуемся формулой:
$[r(cos\varphi +isin\varphi )]^n=r^n[cos(n \varphi) +isin(n \varphi)]$

Для комплексного числа x+yi, x-действительная часть (на комплексной плоскости по оси Х), у - мнимая часть (по оси У)

в нашем случае (1-i)
на единицу по оси Х (вправо) и на -1 по оси У (вниз), получается, что эта точка находится в четвертой четверти

для четвертой четверти:
$\varphi =2 \pi -arctg |\frac{y}{x}|$

$\varphi =2 \pi -arctg| \frac{-1}{1} |=2 \pi -arctg1=2 \pi - \frac{ \pi }{4} = \frac{7 \pi }{4} \\ \\ r= \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
 
$(1-i)^{20}= [\sqrt{2} (cos\frac{7 \pi }{4}+isin\frac{7 \pi }{4})]^{20}=\sqrt{2} ^{20}[cos(20*\frac{7 \pi }{4})+isin(20*\frac{7 \pi }{4})] \\ \\ =2^{10}(cos35 \pi +isin35 \pi )=1024(cos35 \pi +isin35 \pi ) \\ \\ OTBET: \ 1024(cos35 \pi +isin35 \pi )$