Question

Решить дифференциальное уравнение: y”+4y=1/sin^2x

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

$y''+4y=0$

Воспользовавшись заменой Эйлера $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение

$k^2+4=0\\ k=\pm2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$\overline{y}=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

Применяем метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения в виде $y^*=A(x)\cos 2x+B(x)\sin 2x$

$\displaystyle \left \{ {{A'(x)\cos 2x+B'(x)\sin 2x=0} \atop {-2A'(x)\sin 2x+2B'(x)\cos 2x}=\frac{1}{\sin^2x}} \right.$

Получили систему линейных уравнений с неизвестными A'(x) и B'(x) Определитель матрицы коэффициентов (вронскиан с решениями $y_1$ и $y_2$)

$W_{y_1,y_2}(x)=\left|\begin{array}{ccc}y_1(x)&y_2(x)\\ y_1'(x)&y_2'(x)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\cos2x&\sin 2x\\ -2\sin2x&2\cos 2x\end{array}\right|=\\ \\ \\ =2\cos^22x+2\sin^22x=2(\cos^22x+\sin^22x)=2\cdot 1=2$

$W_1(x)=\left|\begin{array}{ccc}0&\sin 2x\\ \frac{1}{\sin^2x}&2\cos 2x\end{array}\right|=-\dfrac{\sin 2x}{\sin^2x}=-\dfrac{2\sin x\cos x}{\sin^2x}=-\dfrac{2\cos x}{\sin x}\\ \\ W_2(x)=\left|\begin{array}{ccc}\cos 2x&0\\ -2\sin2x&\frac{1}{\sin^2x}\end{array}\right|=\dfrac{\cos 2x}{\sin^2x}=\dfrac{1-2\sin^2x}{\sin^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}-2$

Находим решения системы

$A'(x)=\dfrac{W_1(x)}{W_{y_1,y_2}(x)}=-\dfrac{2\cos x}{2\sin x}=-\dfrac{\cos x}{\sin x}\\ \\ \displaystyle A(x)=\int -\dfrac{\cos x}{\sin x}dx=-\int\dfrac{d(\sin x)}{\sin x}=-\ln|\sin x|=\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|$

$B'(x)=\dfrac{W_2(x)}{W_{y_1,y_2}(x)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-2\right)\\ \\ B(x)\displaystyle =\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-2\right)dx=\dfrac{1}{2}\left(-{\rm ctg}\, x-2x\right)=-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}$

Частное решение: $y^*=\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|\cos 2x+\left(-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}\right)\sin 2x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=\overline{y}+y^*=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x+\ln\bigg|\dfrac{1}{\sin x}\bigg|\cos 2x+\left(-x-\dfrac{{\rm ctg}\, x}{2}\right)\sin 2x$

Answer 2

Метод вариации произвольной постоянной .

$y''+4y=\frac{1}{sin^2x}\\\\1)\; \; k^2+4=0\; \; \to \; \; k^2=-4\; ,\; \; k_{1,2}=\pm 2i\\\\y_{o.o.}=C_1\cdot cos2x+C_2\cdot sin2x\\\\2)\; \; y=C_1(x)\cdot cos2x+C_2(x)\cdot sin2x\\\\\left\{\begin{array}{cc}C_1'(x)\cdot cos2x+C_2'(x)\cdot sin2x=0\qquad \qquad \\C_1'(x)\cdot (-2sin2x)+C_2'(x)\cdot 2cos2x=\frac{1}{sin^2x}\end{array}\right.\\\\\\W=\left|\begin{array}{cc}cos2x&sin2x\\-2sin2x&2cos2x\end{array}\right|=2cos^22x+2sin^22x=2\ne 0$

$W_1=\left|\begin{array}{cc}0&sin2x\\\frac{1}{sin^2x}&2cos2x\end{array}\right|=-\frac{sin2x}{sin^2x}=-\frac{2\, sinx\, cosx}{sin^2x}=-\frac{2\, cosx}{sinx}\\\\\\C_1'(x)=\frac{W_1}{W}=-\frac{2\, cosx}{sinx\, \cdot 2}=-\frac{cosx}{sinx}\\\\C_1(x)=-\int \frac{cosx}{sinx}\, dx=-\int \frac{d(sinx)}{sinx}=-ln|sinx|+C^*$

$W_2=\left|\begin{array}{cc}cos2x&0\\-2sin2x&\frac{1}{sin^2x}\end{array}\right|=\frac{cos2x}{sin^2x}=\frac{1-2sin^2x}{sin^2x}=\frac{1}{sin^2x}-2\\\\\\C_1'(x)=\frac{W_2}{W}=\frac{1}{2sin^2x}-1\\\\C_2(x)=\int (\frac{1}{2sin^2x}-1)\, dx=-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**}\\\\\\y_{o.n.}=C_1cos2x+C_2sin2x+(-ln|sinx|+C^*)\, cos2x+(-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**})\, sin2x=\\\\=(C_1-ln|sinx|+C^*)\, cos2x+(C_2-\frac{1}{2}\, ctgx-x+C^{**})\, sin2x\\\\\\y_{o.n.}=(\widetilde {C_1}-ln|sinx|)\cdot cos2x+(\widetilde {C_2}-\frac{1}{2}\cdot ctgx-x)\cdot sin2x$