Question

Написать разложение вектора x ⃗ по векторам p ⃗, q ⃗ , r ⃗ x ⃗ = {8,0,5}, p ⃗ = {2,0,1}, q ⃗= {1,1,0}, r ⃗ = {4,1,2}

Answer 1

Пусть разложения вектора $\overline{x}$ по векторам имеет вид:
        $\overline{x}= \alpha\cdot \overline{p}+ \beta \cdot\overline{q}+\gamma \cdot \overline{r}$

запишем это уравнение в векторной форме:

$\{8;0;5\}= \alpha \cdot \{2;0;1\}+ \beta \cdot \{1;1;0\}+\gamma\cdot \{4;1;2\}\\ \\ \{8;0;5\}=\{2 \alpha ;0; \alpha \}+\{ \beta ; \beta ;0\}+\{4\gamma;\gamma;2\gamma\}$

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координаты, необходимо просуммировать их соответствующие координаты

$\{8;0;5\}=\{2 \alpha + \beta +4\gamma; \beta +\gamma; \alpha +2\gamma\}$

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны, то есть, получаем следующую систему уравнений:
$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } 2 \alpha + \beta +4\gamma=8 \\ & \text{ } \beta +\gamma=0 \\ & \text{ } \alpha +2\gamma=5 \end{cases}$
Запишем эту систему в матричной форме и решим методом Гаусса.

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2&1&4\\0&1&1\\1&0&2\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}8\\0\\5\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0.5&2\\ 0&1&1\\ 1&0&2\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}4\\0\\5\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&1.5\\ 0&1&1\\0&-0.5&0\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}4\\0\\ 1\end{array}\right)\sim$

$\left(\begin{array}{ccc}1&0&1.5\\ 0&1&1\\ 0&0&0.5\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}4\\0\\1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&1.5\\ 0&1&1\\0&0&1\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}4\\0\\2\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}1\\0\\2\end{array}\right)\sim$

$\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right \left|\begin{array}{ccc}1\\-2\\2\end{array}\right)$

Получаем решения данной системы уравнений с тремя переменными$\begin{cases} & \text{ } \alpha =1 \\ & \text{ } \beta =-2 \\ & \text{ } \gamma=2 \end{cases}$

Следовательно, искомое разложение

                                                      $\overline{x}= \overline{p}-2\overline{q}+2\overline{r}$